第三章 中值定理与导数的应用
教学目的：
1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最
小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘
函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；
2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法；
3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3? 1 中值定理
一、罗尔定理
费马引理
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义? 并且在x0处可导? 如果对任意x?U(x0)? 有 f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0))? 那么f ?(x0)?0?
罗尔定理 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续? 在开区间(a, b)内可导? 且有f(a)?f(b)? 那么在(a, b)内至少在一点? ? 使得f ?(?)?0?
简要证明? (1)如果f(x)是常函数? 则f ?(x)?0? 定理的结论显然成立?
(2)如果f(x)不是常函数? 则f(x)在(a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最大值点??(a? b)? 于是
f(x)?f(?)?(?)?limf?(?)?f??0x???x???
?(?)?limf?(?)?f?所以f ?(x)=0.
罗尔定理的几何意义?
x???f(x)?f(?)?0x???
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 那么在(a? b)内至少有一
点?(a
f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)
成立?
拉格朗日中值定理的几何意义?
f(b)?f(a)b?af ?(?)?? 定理的证明? 引进辅函数
f(b)?f(a)b?a令??(x)?f(x)?f(a)?(x?a)?
容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件? ?(a)??(b)?0? ?(x)在闭区间[a? b] 上连续在开区间(a? b)内可导? 且
f(b)?f(a)???(x)?f ?(x)?b?a? 根据罗尔定理? 可知在开区间(a? b)内至少有一点?? 使? ?(?)?0? 即
f(b)?f(a)b?af ?(?)??0?
f(b)?f(a)b?a由此得 ? f ?(?) ?
即 f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)? 定理证毕?
f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)叫做拉格朗日中值公式? 这个公式对于b 设x 为区间[a? b]内一点? x??x 为这区间内的另一点(?x>0或?x<0)? 则在[x? x??x ] (?x>0)或[x??x? x ] (?x<0)应用拉格朗日中值公式? 得 f(x??x)?f(x)?f ?(x???x) ? ?x (0 如果记f(x)为y? 则上式又可写为 ?y?f ?(x???x) ? ?x (0 试与微分d y?f ?(x) ? ?x 比较? d y ?f ?(x) ? ?x是函数增量?y 的近似表达式? 而 f ?(x???x) ? ?x是函数增量?y 的精确表达式? 作为拉格朗日中值定理的应用? 我们证明如下定理? 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零? 那么f(x)在区间I上是一个常数? 证 在区间I上任取两点x1? x2(x1 f(x2)?f(x1)?f ?(?)(x2 ? x1) (x1 由假定? f ?(?)?0? 所以f(x2)?f(x1)?0? 即 f(x2)?f(x1)? 因为x1? x2是I上任意两点? 所以上面的等式表明? f(x)在I上的函数值总是相等的? 这就是说? f(x)在区间I上是一个常数? x?ln(1?x)?x 例2? 证明当x?0时? 1?x? 证 设f(x)?ln(1?x)? 显然f(x)在区间[0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件? 根据定理? 就有 f(x)?f(0)?f ?(?)(x?0)? 0 f?(x)?11?x? 因此上式即为 由于f(0)?0? ln(1?x)?x1??? 又由0???x? 有 x?ln(1?x)?x 1?x? 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 ?X?F(x)? ?Y?f(x) (a?x?b) 表示? 其中x为参数? 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线? 那么在曲线C上必有一点x???? 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB? 曲线C上点x???处的切线的斜率为 dY?f?(?) dXF?(?)? 弦AB的斜率为 f(b)?f(a) F(b)?F(a)? 于是 f(b)?f(a)f?(?)?F(b)?F(a)F?(?)? 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且F ?(x)在(a? b)内的每一点处均不为零? 那么在(a? b)内至少有一点??? 使等式 f(b)?f(a)f?(?)?F(b)?F(a)F?(?)? 成立? 显然? 如果取F(x)?x? 那么F(b)?F(a)?b?a? F ?(x)?1? 因而柯西中值公式就可以写成? f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a) (a 这样就变成了拉格朗日中值公式了? §3. 3 泰勒公式 对于一些较复杂的函数? 为了便于研究? 往往希望用一些简单的函数来近似表达? 由于用多项式表示的函数? 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算? 便能求出它的函数值? 因此我们经常用多项式来近似表达函数? 在微分的应用中已经知道? 当|x|很小时? 有如下的近似等式? e x ?1?x? ln(1?x) ?x? 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子? 但是这种近似表达式还存在着不足之处? 首先是精确度不高? 这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小? 其次是用它来作近似计算时? 不能具体估算出误差大小? 因此? 对于精确度要求较高且需要估计误差时候? 就必须用高次多项式来近似表达函数? 同时给出误差公式? 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n?1)阶导数? 现在我们希望做的是? 找出一个关于(x?x0 )的n次多项式 p n(x)?a 0?a 1(x?x0 )? a 2(x?x0 ) 2? ? ? ? ? a n (x?x0 ) n 来近似表达f(x)? 要求p n(x)与f(x)之差是比(x?x0 ) n高阶的无穷小? 并给出误差| f (x)? p n (x)|的具体表达式? 我们自然希望p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(直到(n?1)阶导数)相等? 这样就有 p n(x)?a 0?a 1(x?x0 )? a 2(x?x0 ) 2?? ? ? ? a n (x?x0 ) n ? p n?(x)? a 1?2 a 2(x?x0 ) ?? ? ? ?na n (x?x0 ) n?1 ? p n??(x)? 2 a 2 ? 3?2a 3(x?x0 ) ?? ? ? ? n (n?1)a n (x?x0 ) n?2 ? p n???(x)? 3!a 3 ?4?3?2a 4(x?x0 ) ?? ? ? ? n (n?1)(n?2)a n (x?x0 ) n?3 ? ? ? ? ? ? ? ? p n (n)(x)?n! a n ? 于是 pn (x0 )?a 0 ? p n ?(x0 )? a 1 ? p n ??(x0 )? 2! a 2 ? p n ???(x)? 3!a 3 ? ? ? ? ? p n (n)(x)?n! a n? 按要求有 f(x0)?p n(x0) ?a0? f ?(x0)? p n ?(x0)? a 1 ? f ??(x0)? p n ??(x0)? 2! a 2 ? f ???(x0)? p n ???(x0)? 3!a 3 ? ? ? ? ? ? ? f (n)(x0)? p n (n)(x0)?n! a n ? 从而有 a2?1f??(x0)a3?1f???(x0)an?1f(n)(x0)2!3!n! a 0?f(x0 )? a 1?f ?(x0 )? ? ? ? ? ? ? ? ak?1f(k)(x0)k!(k?0? 1? 2? ? ? ?? n)? 于是就有 ?1f??(x0)?1f(n)(x0) pn(x)? f(x0)? f ?(x0) (x?x0)2!(x?x0) 2 ?? ? ? n!(x?x0) n ? 泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a? b)内具有直到(n?1)的阶导数? 则当x 在(a? b)内时? f(x)可以表示为(x?x0 )的一个n次多项式与一个余项R n(x)之和? f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2? ? ? ? ?1f(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)2!n! 其中 Rn(x)?f(n?1)(?)(x?x0)n?1(n?1)!(??介于x0与x之间)? 这里 多项式 pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2? ? ? ? ?1f(n)(x0)(x?x0)n2!n! ? 称为函数f(x)按(x?x0 )的幂展开的n 次近似多项式? 公式 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2?1f(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)2! ?? ? ?n!? 称为f(x)按(x?x0 )的幂展开的n 阶泰勒公式? 而R n(x)的表达式 其中 Rn(x)?f(n?1)(?)(x?x0)n?1(n?1)!(?介于x与x0之间)? 称为拉格朗日型余项? 当n?0时? 泰勒公式变成拉格朗日中值公式? f(x)?f(x0 )?f ?(?)(x?x0 ) (?在x0 与x 之间)? 因此? 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广? 如果对于某个固定的n? 当x在区间(a? b)内变动时? |f (n?1)(x)|总不超过一个常数M? 则有估计式? f(n?1)(?)|Rn(x)| ? |(x?x0)n?1| ? M|x?x0|n?1(n?1)!(n?1)! ? Rn(x)lim?0x?x0(x?x0)n及 ? 可见? 妆x ?x0时? 误差|R n(x)|是比(x?x0 )n高阶的无穷小? 即 R n (x)?o[(x?x0 ) n]? 在不需要余项的精确表达式时? n 阶泰勒公式也可写成 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2?1f(n)(x0)(x?x0)n?o[(x?x0)n]2! ?? ? ?n!? 当x0 ?0时的泰勒公式称为麦克劳林公式? 就是 或 其中 f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x?Rn(x)2!n!? f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x?o(xn)2!n!? Rn(x)?f(n?1)(?)n?1x(n?1)!? f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x2!n!? 由此得近似公式? 误差估计式变为? f(x)?f(0)?f?(0)x?|Rn(x)|?M|x|n?1(n?1)! ? 例1．写出函数f(x)?e x 的n 阶麦克劳林公式? 解? 因为 f(x)?f ?(x)?f ??(x)? ? ? ? ?f ( n)(x)?e x ? 所以 f(0)?f ?(0)?f ??(0)? ? ? ? ?f ( n)(0)?1 ? ?xex?1?x?1x2? ? ? ? ?1xn?exn?12!n!(n?1)!于是 (0 ex?1?x?1x2? ? ? ? ?1xn2!n!? 并有 这时所产性的误差为 e?xe|x| |R n(x)|?|(n?1)!x n?1|<(n?1)!| x | n?1? ex?1?1?1? ? ? ? ?12!n!? 当x?1时? 可得e的近似式? e?3其误差为 |R n |<(n?1)!(n?1)!? 例2．求f(x)?sin x的n阶麦克劳林公式? 解? 因为 f ?(x)?cos x ? f ??(x)??sinx ? f ???(x)? ?cos x ? f(n)(x)?sin(x?n? ?)(4)2? f(x)?sinx? ? ? ? ? f (0)?0? f ?(0)?1? f ??(0)?0 ? f ???(0)??1? f ( 4)(0)?0? ? ? ?? (?1)m?12m?1sinx?x?1x3?1x5?????x?R2m(x)3!5!(2m?1)!于是 ? 当m?1、2、3时? 有近似公式 sinx?x?1x3?1x5sinx?x?1x33!5!? 3!? sin x?x? §3? 4 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 如果函数y?f(x)在[a ? b]上单调增加（单调减少）? 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线? 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）? 即y??f ?(x)?0(y??f ?(x)?0)? 由此可见? 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系? 反过来? 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1(函数单调性的判定法) 设函数y?f(x)在[a? b]上连续? 在(a? b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)?0? 那么函数y?f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)?0? 那么函数y?f(x)在[a? b]上单调减少? 证明 只证(1)? 在[a? b]上任取两点x1 ? x2 (x1 ?x2 )? 应用拉格朗日中值定理? 得到 f(x2 )?f(x1 )?f ?(?)(x2?x1) (x1 ???x2 )? 由于在上式中? x2?x1?0? 因此? 如果在(a? b)内导数f ?(x)保持正号? 即f ?(x)?0? 那么也有f ?(?)?0? 于是 f(x2 )?f(x1 )?f ?(?)(x2 ?x1 )?0? 即 f(x1 )?f(x2 )? 这函数y?f(x) 在[a? b]上单调增加? 注? 判定法中的闭区间可换成其他各种区间? 例1 判定函数y?x?sin x 在[0? 2?]上的单调性? 解 因为在(0? 2?)内 y??1?cos x ?0? 所以由判定法可知函数y?x?cos x 在[0? 2?]上的单调增加? 例2 讨论函数y?e x ?x?1的单调性? （没指明在什么区间怎么办？) 解 y??e x ?1? 函数y?e x ?x?1的定义域为(??? ??)? 因为在(??? 0)内y??0? 所以函数y?e x ?x?1在(??? 0] 上单调减少? 因为在(0? ??)内y??0? 所以函数y?e x ?x?1在[0? ??)上单调增加? 32y?x的单调性? 例3? 讨论函数 解? 函数的定义域为(??? ??)? 当时? 函数的导数为 y??323x(x?0)? 函数在x?0处不可导? 当x?0时? 函数的导数不存在? 因为x?0时? y??0? 所以函数在(??, 0] 上单调减少? 因为x?0时? y??0? 所以函数在[0, ??)上单调增加? 如果函数在定义区间上连续? 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续? 那么只要用方程f ?(x)?0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间? 就能保证f ?(x)在各个部分区间内保持固定的符号? 因而函数f(x)在每个部分区间上单调? 例4? 确定函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间? 解 这个函数的定义域为:(??? ??)? 函数的导数为:f ?(x)?6x2 ?18x ?12 ? 6(x?1)(x?2)? 导数为零的点有两个? x1 ?1、x2 ?2? 列表分析? (??? 1] [1? 2] [2? ??) f ?(x) ? ? ? f(x) ↗ ↘ ↗ 函数f(x)在区间(??? 1]和[2? ??)内单调增加? 在区间[1? 2]上单调减少? 例5? 讨论函数y?x3的单调性? 解 函数的定义域为? (??? ??)? 函数的导数为? y??3x2 ? 除当x?0时? y??0外? 在其余各点处均有y??0? 因此函数 y?x 3在区间(??? 0]及[0? ??)内都是单调增加的? 从而在整个定义域? (??? ??)内是单调增加的? 在x?0处曲线有一水平切线? 一般地? 如果f ?(x)在某区间内的有限个点处为零? 在其余各点处均为正（或负）时? 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的?
《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
