§3.1基本不等式
ab?教学目标:
1、知识与技能目标:(1)掌握基本不等式ab?a?b 2a?b,认识其运算结构; 2(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义; (3)能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标:(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程;
(2)体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标(1)感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物;
(2)体会多角度探索、解决问题。
教学重点:应用数形结合的思想,并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点:利用基本不等式ab?教学过程:
一、创设情景,引入新课 1.勾股定理的背景及推导
a?b求最值的前提条件。 2
赵爽弦图
引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理,了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式?
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引导学生从面积关系得到不等式:a+b≥ 2ab,当直角三角形变为等腰直角三角形,即正方形EFGH缩为一个点时,有a?b?2ab
(2)总结结论:一般的,如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) (3)推理证明:作差法 二、讲授新课
重要不等式:如果a、b∈R,那么a+b ≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)
221.思考:如果用a,b去替换a?b?2ab中的a,b能得到什么结论?a,b要满足什
2
2
22
2222么条件? 结论:ab≤a?b(a?0,b?0),当且仅当a?b时取等号。 2a +b2
2.推理证明:作差法
说明:1)我们称 为a,b的算术平均数,称ab 为a,b的几何平均数,因而,
此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2)a+b≥2ab和
2
2
a +b2
≥ab 成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而
后者要求a,b都是正数.
3)“当且仅当”的含义:
当a?b时,等号成立,其含义是:如果a?b那么仅当a?b时,等号成立,其含义是:如果综合起来:其含义是:a?b等价于
a?b?ab 2a?b?ab那么a?b 2a?b?ab 24)数列意义:两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项 问:a,b∈R? 3.(1)探究:(课本P88)
-
如图所示:AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b。 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。
引导学生发现:
a?b表示圆的半经,ab表示半弦长CD,得到不等关系:ab≤2a?b(a?0,b?0) 2几何意义:半弦长不大于半径长。
我们称ab为正数a,b的几何平均数,称代数意义:几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解
例1:设a,b为正数,证明不等式:ab?a?b为正数a,b的算术平均数。 2211?ab
证法(1)由a?0,b?0知
211?ab?2ab2ab2??ab 故:ab?
11a?b2ab?ab11?证法(2)由a?0,b?0知ab?2证法(3)(几何解析 数形结合)
11?1112??ab??ab?
11ab2ab?abDAB是圆O的直径,AC?a,CB?b,过C作 CD?AB交圆O上半圆于点D,过点C作 CE?OD交OD于点E
在Rt?OCD中,由射影定理知DC?DE?OD
2EAOcBDC2ab2??即:DE?a?b11OD?2ab
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 基本不等式教案2 北师大版必修
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