§3.1基本不等式
ab?教学目标：
1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式ab?a?b 2a?b,认识其运算结构； 2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。
教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：利用基本不等式ab?教学过程：
一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导
a?b求最值的前提条件。 2
赵爽弦图
引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
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引导学生从面积关系得到不等式：a+b≥ 2ab，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点时，有a?b?2ab
（2）总结结论：一般的，如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) （3）推理证明：作差法 二、讲授新课
重要不等式：如果a、b∈R，那么a＋b ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）
221.思考：如果用a,b去替换a?b?2ab中的a,b能得到什么结论？a,b要满足什
2
2
22
2222么条件？ 结论：ab≤a?b(a?0,b?0)，当且仅当a?b时取等号。 2a ＋b2
2.推理证明：作差法
说明：1）我们称 为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，
此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2）a＋b≥2ab和
2
2
a ＋b2
≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而
后者要求a，b都是正数.
3）“当且仅当”的含义：
当a?b时，等号成立，其含义是：如果a?b那么仅当a?b时，等号成立，其含义是：如果综合起来：其含义是：a?b等价于
a?b?ab 2a?b?ab那么a?b 2a?b?ab 24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项 问：a，b∈R？ 3.(1)探究:(课本P88)
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如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
引导学生发现：
a?b表示圆的半经，ab表示半弦长CD,得到不等关系：ab≤2a?b(a?0,b?0) 2几何意义：半弦长不大于半径长。
我们称ab为正数a,b的几何平均数，称代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解
例1：设a,b为正数，证明不等式：ab?a?b为正数a,b的算术平均数。 2211?ab
证法（1）由a?0,b?0知
211?ab?2ab2ab2??ab 故：ab?
11a?b2ab?ab11?证法（2）由a?0,b?0知ab?2证法（3）（几何解析 数形结合）
11?1112??ab??ab?
11ab2ab?abDAB是圆O的直径，AC?a,CB?b，过C作 CD?AB交圆O上半圆于点D，过点C作 CE?OD交OD于点E
在Rt?OCD中，由射影定理知DC?DE?OD
2EAOcBDC2ab2??即：DE?a?b11OD?2ab
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 基本不等式教案2 北师大版必修
