垂足为 E．
∵ BC⊥平面 ADO，且 BC 平面 ABC，
∴平面 ADO⊥平面 ABC．又平面 ADO∩平面 ABC＝ AO，
∴ DE⊥平面 ABC．
D到平面 ABC的距离，即 DE＝ ∴线段 DE的长为点 3． 又 DO＝
3
BD＝2 3 ，
2
在 Rt△
中， sin
DE ＝ DO
2
3 ，
DEO
2
故二面角 A－ BC－ D的正弦值为 3 ． (3) 当90°时，四面体 ABCD的体积最大．
18．证明： (1) 在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， AB＝ 2，BB1＝ BC＝ 1，E为 D1C1 的中点．∴△
1
为等腰直角三角形，∠
ABCD
1
＝ 45°．同理∠
1
1＝ 45°．∴
，即⊥．
DDE
DED
1 1 1 1
CEC
1
DEC
平面
1
90
1
DE EC
在长方体
－ 中， ⊥平面
，又
，
A B C D
BC
D DCC
DE
D DCC
∴ BC⊥DE．又 EC BC C ，∴ DE⊥平面 EBC．∵平面 DEB过 DE，∴平面 DEB⊥平面 EBC．
(2) 解：如图，过 E在平面 D1 DCC 1 中作 EO⊥ DC于
O．在长方体 ABCD－ A1 B1C1D1 中，∵面 ABCD⊥面 D1DCC 1 ，
∴ EO⊥面 ABCD．过 O在平面 DBC中作 OF⊥ DB于 F，连结
EF，∴ EF⊥ BD．∠ EFO为二面角 E－ DB－ C的平面角．利
用平面几何知识可得
OF＝，(
5
1第 18 题)
又 OE＝ 1，所以， tan
EFO＝ 5 ．
19* ．解： (1) 直角梯形 ABCD的面积是 M ＝ 1
底面
1＋ 1( BC＋ AD) AB ＝
2 1＝ 3
，
∴四棱锥 S—ABCD的体积是 V＝ · SA· M底面＝ × 1× ＝ ．
1
2
1
31
2
4
3
3 4 4
(2) 如图，延长 BA， CD相交于点 E，连结 SE，则 SE是所求二面角的棱． ∵ AD∥BC， BC＝2AD，
∴ EA＝AB＝SA，∴ SE⊥ SB
∵ SA⊥面 ABCD，得面 SEB⊥面 EBC， EB是交线．
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又 BC⊥ EB，∴ BC⊥面 SEB，故 SB是 SC在面 SEB
上的射影，
∴ CS⊥SE，∠ BSC是所求二面角的平面角．
∵ SB＝ SA2＋ AB2 ＝ 2 ， BC＝1， BC⊥ SB，
∴ tan ∠ BSC＝ ＝
SB 2 即所求二面角的正切值为
BC2
2
2
，
( 第 19 题 )
．
20* ．解： 如图， 设斜三棱柱 ABC— A1B1C1 的侧面 BB1C1C的面
积为 10， A1A 和面 BB1C1C的距离为 6，在 AA1上取一点 P 作截面
PQR，使 AA1⊥截面 PQR， AA1∥CC1，∴截面
PQR⊥侧面 BB1C1C，
过 P 作 PO⊥ QR于 O，则 PO⊥侧面 BB1C1 C，且 PO＝ 6．
∴ V ＝S ·AA＝
1 · QR· PO·AA 2
斜
△PQR1 1
(第 20 题)
＝ · PO· QR· BB1 2
11
＝ ×10×6 2 ＝ 30．
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高中数学必修2第二章知识点+习题+答案
