第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示
( 1)平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)
( 2)平面通常用希腊字母 α 、 β 、γ 等表示,如平面 α、平
0
D
C
α A
面 β 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对
B
的两个顶点的大写字母来表示,如平面 3 三个公理:
AC、平面 ABCD等。
( 1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为
A∈ L B∈L => L A∈ α
α
A
α · A
A
·
·
B∈ α
公理 1 作用:判断直线是否在平面内
( 2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为: A、 B、C三点不共线 => 有且只有一个平面 α ,使 A∈ α 、B∈ α 、 C∈ α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 直线。
符号表示为: P∈ α∩ β => α ∩ β =L,且 P∈ L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据
A B
α · C ·
·
( 3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共
β
α
P
· L
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设 a、b、 c 是三条直线
a∥ b
=>a∥ c
c∥ b
强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点:
① a' 与 b' 所成的角的大小只由
a、b 的相互位置来确定,与
;
O 的选择无关,为了简便,点
O 一般取在两直线中的一条上;
② 两条异面直线所成的角 θ ∈ (0 , )
2
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③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作
a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
( 1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 ( 2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 ( 3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用
a α 来表示
a α a ∩α =A a
∥ α
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:
a α b β a∥ b
=> a
∥ α
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
a b
β β
β∥ α
a∩ b = P a∥ α b∥ α
2、判断两平面平行的方法有三种: ( 1)用定义; ( 2)判定定理;
( 3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:
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a∥ α a β
a
∥ b
α ∩ β = b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示:
α ∥ β
α ∩ γ = a a β ∩ γ = b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
∥b
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直, 记作 L⊥ α ,直线 L 叫做平面 α 的垂线, 平面 α 叫做直线 L 的垂面。 如图,直线与平面垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。
L p
α
2、判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点: a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l
β
B
α
2、二面角的记法:二面角
α -l- β 或α -AB- β
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
3、两个平面互相垂直的判定定理:
2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A 组
一、选择题 1.设
l , m为两条不同的直线,且 l
m?
,有如下
的两个命题:①若
∥ ;②若 ⊥ ,则
(
)
.
l
m
l m
A.①是真命题,②是假命题
B.①是假命题,②是真命题
C.①②都是真命题
D.①②都是假命题 2.如图, ABCD- A B CD 为正方体,下面结论错误 的是 ( ) .
1 1 1 1
..
1 1
A. BD∥平面 CBD
B. AC1⊥ BD
C. AC1⊥平面 CB1D1
D.异面直线 AD与 CB1 角为 60°
(第2题)
3.关于直线 m, n 与平面
①
且 ∥ ; ②
且
m n
m n
mn
⊥ n;
③ m
n
且 m⊥ n;
④ m
n 且 ∥ n.
其中真命题的序号是 (
) .
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
4.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线 l 1, l 2 与同一平面所成的角相等,则
l 1 ,l 2 互相平行
④若直线 l 1, l 2 是异面直线,则与 l 1, l 2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是 (
) .
.
A.1
B.2
C.3
D.4
5.下列命题中正确的个数是
(
)
.
①若直线 l 上有无数个点不在平面
内,则 l
②若直线 l 与平面
平行,则 l 与平面
内的任意一条直线都平行
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mm
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,
那么另一条直线也与这个平面平行 内的任意一条直线都没有公共点
④若直线 l 与平面 A.0 个
平行,则 l 与平面 B.1 个
C.2 个 D.3 个 .
D.只有两个
6. 两直线 l 1 与 l 2 异面,过 l 1 作平面与 l 2 平行,这样的平面( ) A.不存在
B.有唯一的一个 C.有无数个
7.把正方形 ABCD沿对角线 AC折起,当以 A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,
直线 BD和平面 ABC所成的角的大小为 (
A. 90°
).
C. 45°
.
B. 60° D. 30°
8.下列说法中不正确的 是 ( )
....
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9.给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,
直线和交线平行
经过这条直线的一个平面和这个平面相交,
那么这条
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是 (
) .3
.
C.2
D.1
A.4
B
10.异面直线 a,b 所成的角 60°,直线 a⊥ c,则直线 b 与 c 所成的角的范围为 ( A.[30 °, 90°]
120°]
二、填空题
B
.[60 °, 90°]
C.[30 °, 60°]
) .
D.[30 °,
11.已知三棱锥 P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面的面积分别
为 S1, S2, S3,则这个三棱锥的体积为
.
O,连 PA, PB,
12. P是△ ABC所在平面 外一点,过 P 作 PO⊥平面
PC.
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高中数学必修2第二章知识点+习题+答案



