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高中数学必修2第二章知识点+习题+答案

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第二章 直线与平面的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示

( 1)平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)

( 2)平面通常用希腊字母 α 、 β 、γ 等表示,如平面 α、平

0

D

C

α A

面 β 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对

B

的两个顶点的大写字母来表示,如平面 3 三个公理:

AC、平面 ABCD等。

( 1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为

A∈ L B∈L => L A∈ α

α

A

α · A

A

·

·

B∈ α

公理 1 作用:判断直线是否在平面内

( 2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为: A、 B、C三点不共线 => 有且只有一个平面 α ,使 A∈ α 、B∈ α 、 C∈ α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 直线。

符号表示为: P∈ α∩ β => α ∩ β =L,且 P∈ L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据

A B

α · C ·

·

( 3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共

β

α

P

· L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系:

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;

共面直线

平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:

不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设 a、b、 c 是三条直线

a∥ b

=>a∥ c

c∥ b

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点:

① a' 与 b' 所成的角的大小只由

a、b 的相互位置来确定,与

O 的选择无关,为了简便,点

O 一般取在两直线中的一条上;

② 两条异面直线所成的角 θ ∈ (0 , )

2

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③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作

a⊥b;

④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系:

( 1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 ( 2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 ( 3)直线在平面平行 —— 没有公共点

指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用

a α 来表示

a α a ∩α =A a

∥ α

2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:

a α b β a∥ b

=> a

∥ α

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:

a b

β β

β∥ α

a∩ b = P a∥ α b∥ α

2、判断两平面平行的方法有三种: ( 1)用定义; ( 2)判定定理;

( 3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

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a∥ α a β

a

∥ b

α ∩ β = b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示:

α ∥ β

α ∩ γ = a a β ∩ γ = b

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

∥b

2.3.1 直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直, 记作 L⊥ α ,直线 L 叫做平面 α 的垂线, 平面 α 叫做直线 L 的垂面。 如图,直线与平面垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。

L p

α

2、判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点: a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l

β

B

α

2、二面角的记法:二面角

α -l- β 或α -AB- β

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

3、两个平面互相垂直的判定定理:

2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

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第二章 点、直线、平面之间的位置关系

A 组

一、选择题 1.设

l , m为两条不同的直线,且 l

m?

,有如下

的两个命题:①若

∥ ;②若 ⊥ ,则

(

)

l

m

l m

A.①是真命题,②是假命题

B.①是假命题,②是真命题

C.①②都是真命题

D.①②都是假命题 2.如图, ABCD- A B CD 为正方体,下面结论错误 的是 ( ) .

1 1 1 1

..

1 1

A. BD∥平面 CBD

B. AC1⊥ BD

C. AC1⊥平面 CB1D1

D.异面直线 AD与 CB1 角为 60°

(第2题)

3.关于直线 m, n 与平面

且 ∥ ; ②

m n

m n

mn

⊥ n;

③ m

n

且 m⊥ n;

④ m

n 且 ∥ n.

其中真命题的序号是 (

) .

A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

4.给出下列四个命题:

①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线 l 1, l 2 与同一平面所成的角相等,则

l 1 ,l 2 互相平行

④若直线 l 1, l 2 是异面直线,则与 l 1, l 2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是 (

) .

A.1

B.2

C.3

D.4

5.下列命题中正确的个数是

(

)

①若直线 l 上有无数个点不在平面

内,则 l

②若直线 l 与平面

平行,则 l 与平面

内的任意一条直线都平行

第4页共12页

mm

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,

那么另一条直线也与这个平面平行 内的任意一条直线都没有公共点

④若直线 l 与平面 A.0 个

平行,则 l 与平面 B.1 个

C.2 个 D.3 个 .

D.只有两个

6. 两直线 l 1 与 l 2 异面,过 l 1 作平面与 l 2 平行,这样的平面( ) A.不存在

B.有唯一的一个 C.有无数个

7.把正方形 ABCD沿对角线 AC折起,当以 A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,

直线 BD和平面 ABC所成的角的大小为 (

A. 90°

).

C. 45°

B. 60° D. 30°

8.下列说法中不正确的 是 ( )

....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9.给出以下四个命题:

①如果一条直线和一个平面平行,

直线和交线平行

经过这条直线的一个平面和这个平面相交,

那么这条

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直

其中真命题的个数是 (

) .3

C.2

D.1

A.4

B

10.异面直线 a,b 所成的角 60°,直线 a⊥ c,则直线 b 与 c 所成的角的范围为 ( A.[30 °, 90°]

120°]

二、填空题

B

.[60 °, 90°]

C.[30 °, 60°]

) .

D.[30 °,

11.已知三棱锥 P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面的面积分别

为 S1, S2, S3,则这个三棱锥的体积为

O,连 PA, PB,

12. P是△ ABC所在平面 外一点,过 P 作 PO⊥平面

PC.

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高中数学必修2第二章知识点+习题+答案

第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义:平面是无限延展的2平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母
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