第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示
（ 1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成 45 ，且横边画成邻边的 2 倍长（如图）
（ 2）平面通常用希腊字母 α 、 β 、γ 等表示，如平面 α、平
0
D
C
α A
面 β 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对
B
的两个顶点的大写字母来表示，如平面 3 三个公理：
AC、平面 ABCD等。
（ 1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为
A∈ L B∈L => L A∈ α
α
A
α · A
A
·
·
B∈ α
公理 1 作用：判断直线是否在平面内
（ 2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为： A、 B、C三点不共线 => 有且只有一个平面 α ，使 A∈ α 、B∈ α 、 C∈ α 。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 直线。
符号表示为： P∈ α∩ β => α ∩ β =L，且 P∈ L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据
A B
α · C ·
·
（ 3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
β
α
P
· L
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、 c 是三条直线
a∥ b
=>a∥ c
c∥ b
强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：
① a' 与 b' 所成的角的大小只由
a、b 的相互位置来确定，与
；
O 的选择无关，为了简便，点
O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角 θ ∈ (0 ， )
2
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③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（ 1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （ 2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （ 3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
a α 来表示
a α a ∩α =A a
∥ α
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：
a α b β a∥ b
=> a
∥ α
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a b
β β
β∥ α
a∩ b = P a∥ α b∥ α
2、判断两平面平行的方法有三种： （ 1）用定义； （ 2）判定定理；
（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
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a∥ α a β
a
∥ b
α ∩ β = b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：
α ∥ β
α ∩ γ = a a β ∩ γ = b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
∥b
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直， 记作 L⊥ α ，直线 L 叫做平面 α 的垂线， 平面 α 叫做直线 L 的垂面。 如图，直线与平面垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。
L p
α
2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l
β
B
α
2、二面角的记法：二面角
α -l- β 或α -AB- β
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
3、两个平面互相垂直的判定定理：
2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A 组
一、选择题 1．设
l ， m为两条不同的直线，且 l
m?
，有如下
的两个命题：①若
∥ ；②若 ⊥ ，则
(
)
．
l
m
l m
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题 2．如图， ABCD－ A B CD 为正方体，下面结论错误 的是 ( ) ．
1 1 1 1
．．
1 1
A． BD∥平面 CBD
B． AC1⊥ BD
C． AC1⊥平面 CB1D1
D．异面直线 AD与 CB1 角为 60°
(第2题)
3．关于直线 m， n 与平面
①
且 ∥ ； ②
且
m n
m n
mn
⊥ n；
③ m
n
且 m⊥ n；
④ m
n 且 ∥ n．
其中真命题的序号是 (
) ．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线 l 1， l 2 与同一平面所成的角相等，则
l 1 ，l 2 互相平行
④若直线 l 1， l 2 是异面直线，则与 l 1， l 2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是 (
) ．
．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．下列命题中正确的个数是
(
)
．
①若直线 l 上有无数个点不在平面
内，则 l
②若直线 l 与平面
平行，则 l 与平面
内的任意一条直线都平行
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mm
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，
那么另一条直线也与这个平面平行 内的任意一条直线都没有公共点
④若直线 l 与平面 A．0 个
平行，则 l 与平面 B．1 个
C．2 个 D．3 个 ．
D．只有两个
6． 两直线 l 1 与 l 2 异面，过 l 1 作平面与 l 2 平行，这样的平面( ) A．不存在
B．有唯一的一个 C．有无数个
7．把正方形 ABCD沿对角线 AC折起，当以 A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，
直线 BD和平面 ABC所成的角的大小为 (
A． 90°
)．
C． 45°
．
B． 60° D． 30°
8．下列说法中不正确的 是 ( )
．．．．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，
直线和交线平行
经过这条直线的一个平面和这个平面相交，
那么这条
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是 (
) ．3
．
C．2
D．1
A．4
B
10．异面直线 a，b 所成的角 60°，直线 a⊥ c，则直线 b 与 c 所成的角的范围为 ( A．[30 °， 90°]
120°]
二、填空题
B
．[60 °， 90°]
C．[30 °， 60°]
) ．
D．[30 °，
11．已知三棱锥 P－ABC的三条侧棱 PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别
为 S1， S2， S3，则这个三棱锥的体积为
．
O，连 PA， PB，
12． P是△ ABC所在平面 外一点，过 P 作 PO⊥平面
PC．
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高中数学必修2第二章知识点+习题+答案
