但tan 0=tan π,∴命题(2)是假命题.
(3)y=|sin x|是周期函数,π就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. (4)对任意x0∈R,x0+1>0. ∴命题(4)是假命题.
8.选择合适的量词(?、?),加在p(x)的前面,使其成为一个真命题: (1)x>2; (2)x≥0; (3)x是偶数;
(4)若x是无理数,则x是无理数;
(5)a+b=c(这是含有三个变量的语句,则p(a,b,c)表示) 解析: (1)?x∈R,x>2.
(2)?x∈R,x≥0;?x∈R,x≥0都是真命题. (3)?x∈Z,x是偶数.
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(4)存在实数x,若x是无理数,则x是无理数.(如2) (5)?a,b,c∈R,有a+b=c. 尖子生题库☆☆☆
9.(10分)若?x∈R,函数f(x)=mx+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
解析: (1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R;
(2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是
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xΔ=1+4m(m+a)≥0恒成立,
即4m+4am+1≥0恒成立.
又4m+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ=(4a)-16≤0,解得-1≤a≤1.
综上所述,当m=0时,a∈R; 当m≠0,a∈[-1,1].
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第1章 1.4.3
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.命题:对任意x∈R,x-x+1≤0的否定是( ) A.不存在x0∈R,x0-x0+1≤0 C.存在x0∈R,x0-x0+1>0
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B.存在x0∈R,x0-x0+1≥0 D.对任意x∈R,x-x+1>0
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解析: 由全称命题的否定可知,命题的否定为“存在x0∈R,x0-x0+1>0”.故选C. 答案: C
2.命题p:?m0∈R,使方程x+m0x+1=0有实数根,则“綈p”形式的命题是( ) A.?m0∈R,使得方程x+m0x+1=0无实根 B.对?m∈R,方程x+mx+1=0无实根 C.对?m∈R,方程x+mx+1=0有实根
D.至多有一个实数m,使得方程x+mx+1=0有实根
解析: 由特称命题的否定可知,命题的否定为“对?m∈R,方程x+mx+1=0无实根”.故选B.
答案: B
3.“?x0?M,p(x0)”的否定是( ) A.?x∈M,綈p(x) C.?x?M,綈p(x) 答案: C
B.?x?M,p(x) D.?x∈M,p(x)
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4.已知命题p:?x∈R,使tan x=1,命题q:x-3x+2<0的解集是{x|1A.②③ C.①③④
B.①②④ D.①②③④
π
解析: 当x=时,tan x=1,∴命题p为真命题.
4由x-3x+2<0得1二、填空题(每小题5分,共10分)
5.命题p:?x∈R,x+2x+5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”),它是________命题(填“真”或“假”),它的否定命题綈p:________,它是________命题(填“真”或“假”).
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解析: ∵x+2x+5=(x+1)+4≥0恒成立,所以命题p是假命题. 答案: 特称命题 假 ?x∈R,x+2x+5≥0 真
6.(1)命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. (2)命题“存在x∈R,使得x+2x+5=0”的否定是________. 答案: (1)?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 (2)?x∈R,x+2x+5≠0 三、解答题(每小题10分)
7.写出下列命题的否定并判断其真假. (1)所有正方形都是矩形;
(2)?α,β∈R,sin(α+β)≠sin α+sin β; (3)?θ0∈R,函数y=sin(2x+θ0)为偶函数; (4)正数的对数都是正数.
解析: (1)命题的否定:有的正方形不是矩形,假命题.
(2)命题的否定:?α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β,真命题. (3)命题的否定:?θ∈R,函数y=sin(2x+θ)不是偶函数,假命题. (4)命题的否定:存在一个正数,它的对数不是正数,真命题. 8.已知函数f(x)=x-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围. 解析: (1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x), 即m>-x+2x-5=-(x-1)-4.
要使m>-(x-1)-4对于任意x∈R恒成立, 只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时只需m>-4. (2)若m-f(x0)>0, ∴m>f(x0).
∵f(x0)=x0-2x0+5=(x0-1)+4≥4. ∴m>4.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定,并判断真假. (1)?a,b∈R,若a=b,则a=ab; (2)若a·c=b·c,则a=b;
(3)若b=ac,则a,b,c是等比数列.
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解析: (1)否命题:?a,b∈R,若a≠b,则a≠ab,假; 命题的否定:?a,b∈R,若a=b,则a≠ab,假; (2)否命题:若a·c≠b·c,则a≠b.真;
命题的否定:?a,b,c,若a·c=b·c,则a≠b,真; (3)否命题:若b≠ac,则a,b,c不是等比数列,真.
命题的否定:?a,b,c∈R,若b=ac,则a,b,c不是等比数列,真.
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