LDPC码编/译码程序设计
要求：
用Matlab编程实现（2016,1008）LDPC码的编码器和译码器，并搭建仿真系统统计误
码性能。
设计内容：
一、LDPC码参数 二、编码器 三、噪声信道 四、译码器
a) 和积算法译码器 b) 最小和算法译码器 c) 修正最小和算法译码器 五、仿真分析
一、 LDPC码参数
本设计采用准循环LDPC码码型（Quasi Cyclic LDPC，QC-LDPC），此种码型性能良好，并有利于硬件实现，现已被各种工业标准所采纳。例如，Wimax标准，DVB-S2标准。具体矩阵请见：Matrix(2016,1008)Block56.mat。具有如下所示的结构：
本设计采用系统码，码长为2016比特，1/2码率，信息序列长度为1008比特。其H矩阵表示如下：
?H1,1??H2,1H?????Hmb,1H1,2H2,2Hmb,2H1,nb??H2,nb?? ?Hmb,nb??其中Hi,j 是大小为z×z的循环移位矩阵，行重为1，它的值表示该矩阵的循环移位偏移量。例如：Hi,j＝n，则表示此矩阵第1行的第n列为1，其余列为0，其余各行均是上
一行的循环移位；如果Hi,j?0，则表明该矩阵是一个全零矩阵。例如Hi,j＝4，z＝7，则对应的矩阵结构为：
?0??0?0?Hij??0?1??0?0?
001000??000100?000010??000001? 000000??100000?010000??本设计给出的QC-LDPC码，z取56。
由于本设计采用系统码，H矩阵被分为两个部分??Hp|Hs??：
?H1,1??H2,1H?????Hmb,1H1,kbH2,kbHmb,kbH1,kb?1H2,kb?1Hmb,kb?1H1,nb??H2,nb?? ?Hmb,nb??其中Hp对应校验比特部分，大小为mbz?mbz；Hs对应信息比特部分，大小为
mbz?kbz，其中kb?(nb?mb)z。Hp具有如下规则结构：
?1?1??0?Hp????0??0?0??00a?10?000??1100???????
?100??0110?00?011??00其中Hp右上角a表示的矩阵具有如下结构：
?0?1??0????00010010?????0?0??
【注】
1. 上文Hp中的子矩阵‘a’由文档直接给出，不利用循环移位方法计算； 2. 本次作业中的LDPC为系统码，其中校验位在前，信息为在后。
二、 LDPC码编码器
LDPC码属于线性分组码，可以应用线性分组码传统的编码方式进行编码，即利用生成矩阵进行编码。但LDPC码通常用其稀疏校验矩阵（H矩阵）进行定义，把校验矩阵转化成生成矩阵运算量极大。由于LDPC码码长一般较长，校验矩阵较大，就更增加了运算负担。并且转化的生成矩阵并不是稀疏的，这就给硬件实现带来了困难。实际中一般采用校验矩阵直接进行编码，利用公式VH?0（其中，V为编码生成的码字），直接解出码字V。这里在不影响性能的前提下，一般需要特殊结构的校验矩阵，以简化解方程组运算。具体算法如下：
由于采用的是系统码，利用输入信息比特s???s1,s2,T,skbz??，得到校验比特
p???p1,p2,,pmbz??即可完成编码。编码分为如下两个步骤进行：
,xmbz??：
步骤一：利用输入信息矢量s，计算中间结果x???x1,x2,x?sHsT
步骤二：利用x计算校验比特p，采用如下公式：
?xi,i?1?pi??xi?p(mb?1)z?i?1,1?i?z，其中?表示GF(2)中的加法。
?,i?z?xi?pi?z编码时首先得到第一个校验比特p1?x1，然后依次得到pz?1?xz?1?p1，
p2z?1?x2z?1?pz?1，……，p(mb?1)z?1?x(mb?1)z?1?p(mb?2)z?1，p2?x2?p(mb?1)z?1，……，pmbz?xmbz?p(mb?1)z。
三、 噪声信道
本设计需要在AWGN信道下进行误码率性能仿真，调制方式采用BPSK调制（0映射
成1，1映射成-1），可能用到的Matlab函数有：wgn或者awgn。
四、 LDPC码译码器
本设计要求编程实现三种LDPC码译码器，一种为在系统仿真中较为常用的和积算法译码器，另一种为利于硬件实现的最小和算法以及其修正算法译码器。具体算法流程如下：
a) 和积算法程序流程
为了方便说明，定义LDPC码长为N，校验方程数目为M，则该LDPC码的二分图包含了N个变量节点，M个校验节点以及条边线。在该二分图中，和积算法（sum-product algorithm）的译码过程被分为以下三个主要步骤，如图1所示： 1. 初始化：
a) 每个比特从信道中接收到的信道信息作为初始置信度，赋予相应的变量节点，它们
的置信度uj?i?u0?i，其中u0?i表示第i个比特从信道接收到的置信度中，yi为信道输入译码器的软信息，SNR?4yi，其SNREs为符号能量与噪声的比值（注意：N0）。
这里单位不是dB，而是单纯的比值，即102. 迭代：
(SNR)dB10a) 每个变量节点将自己的置信度传递给具有校验关系的校验节点。第i个变量节点传
递给第j个校验节点的置信度vi?j?u0?i?点的维度。
b) 校验节点根据变量节点传递来的置信度，为每一个变量节点计算更新置信度。第j
个校验节点为第
ck?1,k?j?di?1uk?i，其中di表示第i个变量节
i个变量节点计算的更新置信度
uj?i3. 判决：
?dj?1?v?1?2tanh??tanh?k?j?k?1,k?i?2???c，其中dj表示第j个校验节点的维度。 ?????a) 变量节点根据校验节点传递来的更新置信度，更新本地置信度并进行硬判决：
??1if?Vi???0if???uk?0didik?i?0；
?uk?0k?i?0Tb) 如果所有的校验关系得到满足，即VH?0，其中V??V1,V2,T,Vn?，则译码结
束；如果VH?0，则返回迭代的步骤a继续迭代，直至达到迭代次数的上限。
u0?1v1?1v1?4v2?2v2?5v3?3v3?6v4?1v4?51u0?2变量节点接收信道信息u0?3u0?4u0?5u0?6u0?7u0?8u0?9变量节点传递置信度给校验节点v5?2v5?6v6?3v6?4v7?1v7?6v8?2v8?4v9?3v9?5vi?u0?ivi?j?u0?i?k?1,k?j?di?1校验节点计算置信度传递给变量节点23456uk?i
uj?i?dj?1?vk?j?2tanh??tanh??k?1,k?i?2??1c654321b) 最小和算法程序流程
最小和算法（Min-Sum）是和积算法的一种简化算法。尽管和积算法的译码过程已经相当简洁，但其中积运算部分需要进行的反双曲正切连乘等非常复杂的运算，在硬件实现中通常只能利用查表等相对繁琐的操作来完成。为了简化这一过程，Marc. P. C. Fossorier等人提出了最小和算法及其修正算法。
最小和算法的流程与和积算法完全一致，唯一的区别在于将和积算法的积运算简化为求取最小值的运算，即每次校验节点在计算变量节点更新置信度时，采取的计算步骤由公式
123456789123456789u1?1u1?4u1?7u2?2u2?5u2?8u3?3u3?6u3?9u4?1u4?6u4?7u5?2u5?4u5?9u6?3u6?5u6?7???????
图1 和积算法译码流程
uj?i?dj?1?v?1?2tanh??tanh?k?j?k?1,k?i?2?c?dj?????简化为???u?sgnvMin(v)?????j?ik?j?k?{1,2dc}\\ik?j?。??j????k?1,k?i??c具体算法流程如下：
LDPC码程序设计
