公路卵形曲线计算
一、概念
卵形曲线:是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说:卵形曲线本身是缓和曲线的一段,只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段,而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理 根据已知的设计参数,求出包括卵形
曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素,再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。 三、坐标计算
以雅(安)至攀(枝花)高速公路A合同段(西昌西宁)立交区A匝道一卵形曲线为例,见图一:
(图一)
已知相关设计数据见下表:
主点 桩号 ZH 9987.403 10059.378 92 17 26.2 AK0+090 HY1 9968.981 10125.341 132 23 51.6 AK0+160 YH1 9910.603 10136.791 205 24 33.6 AK0+223.715 HY2 9880.438 10100.904 251 24 18.5 AK0+271.881 YH2 9922.316 10007.909 337 04 54.2 AK0+384.032 HZ 9981.363 10000.000 0 00 00 AK0+444.032 1、缓和曲线(卵形曲线)参数计算 A1=
=59.161
X 坐 标 (m) Y 切线方位角 (θ) ° ’ ” 卵形曲线参数:
A2=(HY2-YH1)×R1(小半径)×R2(大半径)÷(R2-R1) =(271.881-223.715)×50×75÷(75-50) = 7224.900 A2=
=84.999
A3==67.082
2.卵形曲线所在缓和曲线要素计算
卵形曲线长度LF由已知条件知:LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166
卵形曲线作为缓和曲线的一段,因此先求出整条缓和曲线的长度LS,由此找出HZ'点的桩号及坐标(实际上不存在,只是作为卵形曲线辅助计算用) LM=LS(YH1至HZ'的弧长)=A2÷R1 =7224.900÷50=144.498
∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213 LE=HY2至HZ'的弧长
=A2÷R2=7224.900÷75=96.332 或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332
卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166(校核) HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881(校核) 由上说明计算正确
3.HZ'点坐标计算(见图二)
(图二)
①用缓和曲线切线支距公式计算,缓和曲线切线支距公式通式: Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]
Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1] 公式中符号含义:
n — 项数序号(1、2、3、……n) !— 阶乘 R — 圆曲线半径 Ls — 缓和曲线长
②现取公式前6项计算(有关书籍中一般为2-3项,不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求,如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线,如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm),公式如下:
X=L-L5÷[40(RLS)2]+L9÷[3456(RLS)4]–L13÷[599040(RLS)6]+L17÷[175472640(RLS)8
]- L21÷[7.80337152×1010(RLS)10] (公式1)
Y=L3÷[6(RLS)] - L7÷[336(RLS)3]+L11÷[42240(RLS)5] - L15÷[9676800(RLS)7
]+L19÷[3530096640(RLS)9] - L23÷[1.8802409472×1012(RLS)11] (公式2) 公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长
HZ':AK0+368.213的坐标从YH1:AK0+223.715推算, L=LS=HZ'-YH1
=368.213-223.715=144.498 将L=LS 代入公式(1)、(2)得: X=117.1072 Y=59.8839
L对应弦长C=√(X2+Y2)=131.5301 偏角a1=arctg(Y÷X)=27°05’00.2” * 偏角计算用反正切公式,不要用其它公式。 缓和曲线切线角: a2=90L2÷(πK)
=90×144.4982÷(π×7224.900)
=82°47’28.5”
* K为卵型曲线参数,本例中 K= A2=7224.900 Q3=180-a1-(180-a2)
=180-27°05’00.2”-(180-82°47’28.5”) =55°42’28.3”
∴YH1\M\) =205°24’33.6” +Q3
=205°24’33.6”+55°42’28.3” =261°07’01.9”
∴HZ’:AK0+368.213坐标: X=XYH1+Ccos261°07’01.9”
=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293 Y=YYH1+Csin261°07’01.9”
=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838 4.HZ’:AK0+368.213点的切线方位角(D\)计算 D\方位角: =205°24’33.6”+Q2
=205°24’33.6”+82°47’28.5” =288°12’02.1” ∴B\切线方位角: =288°12’02.1”-180 =108°12’02.1”
5.计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ’:AK0+368.213作为推算起点)
卵曲线计算
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