课时素养评价 三十三
平面与平面垂直(二)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，则n与α的关系是
( )
A.n∥α B.n∥α或n?α C.n?α或n与α不平行 D.n?α
【解析】选A.因为l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，所以l?α，且l与n异面，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.
2.如图，点P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，点E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是 ( )
A.PE⊥AC B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD D.平面PBE⊥平面PAD
【解析】选D.因为PA=PD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立.又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立.
3.三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的 ( ) A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【解析】选C.如图所示，
- 1 -
三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角， 则AP⊥平面PBC，
因为BC?平面PBC，所以AP⊥BC， 因为PH⊥平面ABC，BC?面ABC， 所以PH⊥BC，又AP∩PH=P，
所以BC⊥平面APH，因为AH?平面APH， 所以AH⊥BC，同理可得CH⊥AB， 故H为△ABC的垂心.
4.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=∠BAC=30°，则PC= ( )
，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，
A. B.2 C. D.2
【解析】选C.因为PA=PB=，PA⊥PB，
所以AB=2，因为AB⊥BC，∠BAC=30°，
所以BC=ABtan 30°=2，
因为平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，平面PAB∩平面ABC=AB，BC?平面ABC， 所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
所以PC==.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________对.
- 2 -
【解析】由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC， 又因为ADC⊥平面BDC， 所以互相垂直的平面有3对. 答案：3
6.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为________.
【解析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，
因为AB=AD=BC=CD=1， 所以OA⊥BD，OC⊥BD. 又平面ABD⊥平面BCD， 所以OA⊥平面BCD，OA⊥OC.
又AB⊥AD，所以DB=.
取OB中点N，连接MN，CN， 所以MN∥OA，MN⊥平面BCD. CN=ON+OC，
2
2
2
所以CM==.
答案：
三、解答题(共26分)
- 3 -
7.(12分)(2019·清江高一检测)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点. (1)求证：PB∥平面MNC.
(2)若AC=BC，求证：平面PAC⊥平面MNC.
【证明】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，
所以MN∥PB，又MN?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC.
(2)因为AC=BC，M为AB的中点，所以CM⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM?平面ABC，所以CM⊥平面PAB，所以CM⊥PA，因为PA⊥PB，PB∥MN，所以PA⊥MN，又MN?平面MNC，CM?平面MNC，MN∩CM=M，所以PA⊥平面MNC，又PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面MNC.
8.(14分)如图甲，在四边形ABCD中，AD=2，CD=2，△ABC是边长为4的正三角形，把△
ABC沿AC折起到△PAC的位置，使得平面PAC⊥平面ACD；如图乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点.
(1)求证：平面PAD⊥平面PON. (2)求三棱锥M-ANO的体积.
【解析】(1)因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩
平面ACD=AC，所以PO⊥平面ACD，又AD?平面ACD，所以PO⊥AD，因为AD=2，CD=2，AC=4，
- 4 -
所以AD+CD=AC，所以AD⊥CD，因为ON是△ACD的中位线，所以ON∥CD，所以AD⊥ON，又ON∩PO=O，所以AD⊥平面PON，又AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PON. (2)因为△PAC是边长为4的等边三角形，
222
所以PO=2，所以M到平面ACD的距离d=PO=，因为ON是△ACD的中位线，所以S△AON=S
△ACD
=××2×2=，
所以VM-ANO=S△AON·PO=××=.
(15分钟·30分)
1.(4分)如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD等于 ( )
A.8
B.10
C.13
D.16
【解析】选C.连接BC，
因为AC⊥l，所以△ACB为直角三角形，
所以BC===5，
又因为BD⊥l，BD?β，α∩β=l，α⊥β， 所以BD⊥α，所以BD⊥BC. 在Rt△DBC中，
CD===13.
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2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价三十三 平面与平面垂直(二) 新人教A版必修2
