urrm?n即??arccosurr；
mnurrm?n◆ 如果?是钝角，则cos???cos???urr，
mnurr?m?n? 即??arccos??urr?.
?mn???5、利用法向量求空间距离 ⑴点Q到直线l距离 ruuurr 若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为
1rr2rr2h?r(|a||b|)?(a?b) |a|⑵点A到平面?的距离 若点P为平面?外一点，点M为平面?内任一点，
rruuur平面?的法向量为n，则P到平面?的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.
uuurruuuur即d?MPcosn,MP
ruuuruuurn?MP ?MP?ruuur
nMPruuurn?MP ?rn⑶直线a与平面?之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
ruuurn?MP 即d?r.
n
⑷两平行平面?,?之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
ruuurn?MP即d?r.
n⑸异面直线间的距离 rruuur 设向量n与两异面直线a,b都垂直，M?a,P?b,则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向上投
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影的绝对值。
ruuurn?MP 即d?r.
n6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 POPO??,O????推理模式：PAI??A??a?PAa??,a?OA??A?a
概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 PO??,O????推理模式：PAI??A??a?AO
a??,a?AP??概括为：垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理 设AC是平面?内的任一条直线，AD是?的一条斜线AB在?内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与? (AD)所成的角为?1， AD与AC所成的角为?2， AB与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.
BA??1?2?DC
8、 面积射影定理 已知平面?内一个多边形的面积为SS原，它在平面?内的射影图形的面积为S?S射，平面?与平面?所成的二面角的大小为锐二面角?，则
????S'S射 cos??=.
SS原9、一个结论 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则有
l2?l12?l22?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1 ?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
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第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；
1?tan?tan?tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．
1?tan?tan?⑹tan??????25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin2??2sin?cos?．?1?sin2??sin??cos??2sin?cos??(sin??cos?) ⑵cos2??cos2222??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
?,1?cos??2sin2?升幂公式1?cos??2cos2?22cos2??11?cos2?2，sin??． ?降幂公式cos2??2226、
万能公式:2tanαα1?tan22;cosα? 2sinα? αα1?tan21?tan2222tan? tan2??．
1?tan2?27、
半角公式:
α1?cosαα1?cosαcos??;sin??
2222
α1?cosαsinα1?cosαtan????
21?cosα1?cosαsinα
?（后两个不用判断符号，更加好用）
28、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y?Asin(?x??)?B形式。?sin???cos???2??2sin?????，其中tan???． ?29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍
半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是
???的二倍；是的二倍； 224第 - 43 - 页 共 102 页
30o??②15?45?30?60?45?；问：sin? ；cos? ；
21212ooooo③??(???)??；④
?4????2?(?4??)；
⑤2??(???)?(???)?(?4??)?(?4??)；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切
为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变
形有： 1?sin2??cos2??tan?cot??sin90o?tan45o
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂
公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式1?cos?常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：
1?tan?1?tan??_______________； ?______________；
1?tan?1?tan?tan??tan??____________；1?tan?tan??___________； tan??tan??____________；1?tan?tan??___________；
2tan?? ；1?tan2?? ；
tan20o?tan40o?3tan20otan40o? ；
sin??cos?? = ；
（其中tan?? ；） asin??bcos?? = ；1?cos?? ；1?cos?? ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特
殊角的三角函数互化。
oo如：sin50(1?3tan10)? ；
tan??cot?? 。
高中数学 必修5知识点
第一章 解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，，则有a(R为???C的外接圆的半径)
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sin??bc??2R sin?sinC2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； ②sin??ab，sin??，sinC?c；③a:b:c?sin?:sin?:sinC； 2R2R2R2223、三角形面积公式：S???C?1bcsin??1absinC?1acsin?．
2222224、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，推论：cos??b?c?a
2bc 第二章 数列 1、数列中an与Sn之间的关系： ,(n?1)?S1注意通项能否合并。 an??S?S,(n?2).n?1?n2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）， 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列?A?⑶通项公式：an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d 或an?pn?q(p、q是常数）. ⑷前n项和公式：
?a?b 2Sn?na1?n?n?1?n?a1?an?d? 22⑸常用性质：
①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则am?an?ap?aq； ②下标为等差数列的项?ak,ak?m,ak?2m,??，仍组成等差数列； ③数列??an?b?（?,b为常数）仍为等差数列；
*④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、，…也成等差
数列。
⑤单调性：?an?的公差为d，则：
ⅰ）d?0??an?为递增数列； ⅱ）d?0??an?为递减数列； ⅲ）d?0??an?为常数列；
⑥数列{an}为等差数列?an?pn?q（p,q是常数）
⑦若等差数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
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