y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横
坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 14、函数y??sin??x??????0,??0?的性质： ①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1?；④相位：?x??；⑤初相：?． ??2?函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则
??11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 y?sinx 性 质 y?cosx y?tanx y=cotx yy=cotx图象 -?- ?2o?2?3?22?x定义域 R R ???????xx?k??,k????xx?k??,k???22???? 值域 当??1,1? x?2k????1,1? 当x?2k??k???时， R R ?2时；，当?k???最值 ymax?1；当x?2k??? ?k???时，ymin??1．既无最大值也无最小值 既无最大值也无最小值 ymax?1x?2k???2 ，?k???时ymin??1． 周期性 奇偶性 2? 奇函数 2? 偶函数 第 - 36 - 页 共 102 页 ? 奇函数 ? 奇函数 在????2k??,2k???22??? 单调性 在在?k???上是增函数；在 ?2k???,2k???k???上是增函数；在????k??,k???? 22???2k?,2k???? ?3???2k??,2k???22????k???上是减函数． ?k???上是减函数．对对称性 称中心对称中心?k???数． 上是增函对称中心对称中心?k?,0??k??? 对称轴???k??,0??k??? ?2??对称轴x?k??k??? ?k??,0??k??? ??2?无对称轴 ?k??,0??k??? ??2?无对称轴 x?k???2?k???
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
rrrrrr⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．
rrrr⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；
rrrrrrrrrrr②结合律：a?b?c?a?b?c；③a?0?0?a?a．
????C ra
rb
rrrr⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
rrrr⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． uuur设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?．
19、向量数乘运算：
rr⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a．
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?
ruuuruuurrruuua?b??C?????C
①
?a??a；
rrrrrrrr②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0．
rrrrrrrrr⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b．
??⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．
rrrrrrrr20、向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．
??rrrrrrrr设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、bb?0共线．
??uruurr21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有
uruururuurr且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） uuuruuur22、分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，
点?的坐标是??x1??x2y1??y2?,时，就为中点公式。）（当??1 ?．
1??1????23、平面向量的数量积：
rrrrrrrroo⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．
??rrrrrrrrrrrrrr⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，a?b?ab；当a与b反向时，
rrrrrrrrrrr2r2rrra?b??ab；a?a?a?a或a?a?a．③a?b?ab．
rrrrrrrrrrrrrrrrr⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c．
??????rrrr⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2．
rrr2rrrr2222若a??x,y?，则a?x?y，或a?x?y． 设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0．
rrrrx1x2?y1y2a?brrrrcos???bbr设a、都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，?是a与的夹角，则． r2222abx1?y1x2?y2知识链接：空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：
uuuruuur 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的
方向向量.
⑵．平面的法向量： 第 - 38 - 页 共 102 页
rrrr 若向量n所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作n??，如果n??，那么向量n叫做
平面?的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．
r②设平面?的法向量为n?(x,y,z)．
rur③求出平面内两个不共线向量的坐标a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)．
rr??n?a?0④根据法向量定义建立方程组?rr.
??n?b?0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.
（如图）
1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 rrrrrr 设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a?kb(k?R).
即：两直线平行或重合⑵线面平行 两直线的方向向量共线。
rrrrrr①（法一）设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l∥?，只需证明a?u，即a?u?0.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
⑶面面平行 rrrrrr若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证?∥?，只需证u∥v，即证u??v.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 rrrrrr设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1?l2，只需证明a?b，即a?b?0.
即：两直线垂直⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直。
rrrrrr①（法一）设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l??，只需证明a∥u，即a??u.
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rurruruur??a?m?0,则l??. ②（法二）设直线l的方向向量是a，平面?内的两个相交向量分别为m、，若n?rr??a?n?0即：直线与平面垂直
方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线
直线的方向向量与平面内两条不共线直线的
rrrrrr 若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证???，只需证u?v，即证u?v?0.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为?，
uuuruuurAC?BD 则cos??uuuruuur.
ACBD⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 rrrr②求法：设直线l的方向向量为a，平面?的法向量为u，直线与平面所成的角为?，a与u的夹角为?， 则
?为?的余角或?的补角
的余角.即有：
rra?usin??cos??r.
au⑶求二面角 ①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角是指在二面角??l??的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO?l,BO?l，则?AOB为二面角??l??的平面角.
如图： A B O l B urrurr②求法：设二面角??l??的两个半平面的法向量分别为m、再设m、二面角??l??的n，n的夹角为?，urr平面角为?，则二面角?为m、n的夹角?或其补角???.
根据具体图形确定?是锐角或是钝角：
O A urrm?n◆如果?是锐角，则cos??cos??urr，
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