常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）． （4）对数的运算性质 如果a?0,a?1,M?0,N?0，那么
①加法：logaM?logaN?loga(MN) ②减法：logaM?logaN?logalogNn③数乘：nlogaM?logaM(n?R) ④aa?N
M N⑤logabMn?logbNn(b?0,且b?1) logaM(b?0,n?R) ⑥换底公式：logaN?logbab【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 y?logaxyx? 1y 1x?图象 O(1,0)xO y?logax (1,0) x 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,??)上是增函数 (0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) 图象的影响 a变化对 (6)反函数的概念
在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 设函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如果对于y在
C中的任何一个值，通过式子x??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x??(y)表示x是y第 - 11 - 页 共 102 页
?1?1的函数，函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作x?f(y)，习惯上改写成y?f(x)．
（7）反函数的求法
?1①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y?f(x)中反解出x?f(y)；
?1?1③将x?f(y)改写成y?f(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
?1 ①原函数y?f(x)与反函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称．
?1②函数y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f(x)的值域、定义域．
'?1③若P(a,b)在原函数y?f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y?f(x)的图象上．
④一般地，函数y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
? 一般地，函数y?x叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数．
（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在
(0,??)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
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④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当??qpq（其中p,q互质，ppqp和q?Z），若p为奇数q为奇数时，则y?x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y?x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y?x是非奇非偶函数．
?⑤图象特征：幂函数y?x,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若x?1，其图
qp象在直线y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)?ax?bx?c(a?0)②顶点式：f(x)?a(x?h)?k(a?0)③两根式：
22f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x??2b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,)． 2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?bbb时，]上递减，在[?,??)上递增，当x??2a2a2a4ac?b2bbbfmin(x)?；当a?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?在[?当x??]上递增，,??)上递减，
4a2a2a2a4ac?b2时，fmax(x)?．
4a2③二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)当??b?4ac?0时，图象与x轴有两个交点
2M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|??． |a|2（4）一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
22 设一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令f(x)?ax?bx?c，从以下四个
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方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x??①k＜x1≤x2 ?
b ③判别式：? ④端点函数值符号． 2ayf(k)?0?ya?0x??b2ax2kx1Ox2xk?x1Oxbx??2af(k)?0a?0
②x1≤x2＜k ?
ya?0f(k)?0?yx??Ob2ax1Ox2kxx1x2?kxbx??2aa?0f(k)?0
③x1＜k＜x2 ? af(k)＜0
ya?0y?f(k)?0x2x1Okx2xx1Okx?f(k)?0a?0
④k1＜x1≤x2＜k2 ?
y?f(k1)?0?a?0f(k2)?0x2k2yk1x??b2ak2Ok1x1xO?x1f(k1)?0x2?xx??b2af(k2)?0 a?0 ⑤有且仅有一个根x（或x2）满足k1＜x（或x2）＜k2 ? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=011
这两种情况是否也符合
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y?f(k1)?0a?0yf(k1)?0?Ok1x1?k2x2xOx1k1x2?k2xf(k2)?0a?0f(k2)?0
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 ? 此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间[p,q]上的最值 设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0?（Ⅰ）当a?0时（开口向上） ①若?
2
1(p?q)． 2bbbb?p，则m?f(p) ②若p???q，则m?f(?) ③若??q，则m?f(q) 2a2a2a2a?????????f(q) Of(p) x
Of(?b)2af(q) x
f(p) Ofbf((p)? )2ax
b)2aff(?(q) bb①若??x0，则M?f(q) ②??x0，则M?f(p)
2a2a ??????ff(p) x0gx
Ox(q)0 Ogx
b)2afbf((p)? )2aff(?(q) (Ⅱ)当a?0时(开口向下) ①若?
?bf(?) 2a f (p) Ox
f ??(q)
?bf(?)2abbbb?p，则M?f(p) ②若p???q，则M?f(?) ③若??q，则M?f(q) 2a2a2a2a?ff(?b)2af(p) O(q) x
Ox
??f
??(q)
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