（2）区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a?x?b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别记做
[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)．
注意：对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 （前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． a?b，
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①f(x)是整式时，定义域是全体实数．
②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤y?tanx中，x?k???2(k?Z)．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a?g(x)?b解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数y?f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x?b(y)x?c(y)?0，则在a(y)?0时，由于x,y为实数，故必须有??b(y)?4a(y)?c(y)?0，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函
数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
第 - 6 - 页 共 102 页
22⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对
应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念
①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:A?B．
②给定一个集合A到集合B的映射，且a?A,b?B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< 1．．．x时，都有f(x)
③对于复合函数y?f[g(x)]，令u?g(x)，若y?f(u)为增，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为增；若
y?f(u)为减，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为增；若y?f(u)为增，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为
减；若y?f(u)为减，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为减．
第 - 7 - 页 共 102 页
（2）打“√”函数f(x)?x?a(a?0)的图象与性质 xy
f(x)分别在(??,?a]、[a,??)上为增函数，分别在
[?a,0)、(0,a]上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?M；
（2）存在x0?I，使得f(x0)?M．那么，我们称M是函
数f(x)的最大值，记作fmax(x)?M．
②一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?m；（2）存在x0?I，使得f(x0)?m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)?m．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数．．．．．．．．．．．f(x)叫做奇函数． ．．．函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－f(x),那么函数．．．x)=．．．．．．．f(x)叫做偶函数． ．．． ②若函数f(x)为奇函数，且在x?0处有定义，则f(0)?0．
③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函
数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：
第 - 8 - 页 共 102 页
o
x
图象 判定方法 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x) ??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x) A?1,伸③对称变换
y轴x轴??y?f(?x) y?f(x)????y??f(x) y?f(x)??直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x) 去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得
问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果x?a,a?R,x?R,n?1，且n?N?，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a?0．
③根式的性质：(na)n?a；当n为奇数时，a?a；当n为偶数时， an?|a|??（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：a②正数的负分数指数幂的意义是：amnnnnn?a (a?0)．
?a (a?0) ??nam(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的正分数指数幂等于0．
? mn1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的负分数指数幂aa没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
第 - 9 - 页 共 102 页
（3）分数指数幂的运算性质
①a?a?arrsr?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R)
③(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数 函数名称 定义 xrr指数函数 函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 y y?ax (0,1)0?a?1 y?axy图象 y?1y?1 (0,1) O 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在R上是增函数 xR (0,??) Ox图象过定点(0,1)，即当x?0时，y?1． 非奇非偶 在R上是减函数 ax?1(x?0)函数值的 变化情况 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． a变化对
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
x ①若a?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．
②负数和零没有对数．
x③对数式与指数式的互化：x?logaN?a?N(a?0,a?1,N?0)．
（2）几个重要的对数恒等式
loga1?0，logaa?1，logaab?b．
（3）常用对数与自然对数
第 - 10 - 页 共 102 页
高中数学知识点总结（最全版）
