⑵等比中项：若三数a、。反之不一定成立。 G、b成等比数列?G?ab,（ab同号）
n?1n?m⑶通项公式：an?a1q?amq
2⑷前n项和公式：Sn?⑸常用性质
a1?1?qn?1?q?a1?anq
1?q①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则am?an?ap?aq；
②ak,ak?m,ak?2m,?为等比数列，公比为q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列??an?（?为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列?an?；则?lgan?是公差为lgq的等差数列；
k?1?④若?an?是等比数列，则?can?， ??， ?an?，a?n?221rq，q，，qr. 是等比数列，公比依次是a(r?Z)?n?q⑤单调性：
a1?0,q?1或a1?0,0?q?1??an?为递增数列；a1?0,0?q?1或a1?0,q?1??an?为递减数列；
q?1??an?为常数列； q?0??an?为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式
,(n?1)?S1an??构造两式作差求解。
S?S,(n?2)n?1?n用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n?1和n?2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。 类型Ⅲ 累加法： 形如an?1?an?an?1?f(n?1)?a?a?f(n?2)??an?f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造： ?n?1n?2
...???a2?a1?f(1)第 - 46 - 页 共 102 页
将上述n?1个式子两边分别相加，可得：an?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a1,(n?2)
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法： ?an?a?f(n?1)?n?1?an?1?f(n?2)?an?1???f(n)?型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：?an?2形如an?1?an?f(n)? a?n??...??a2?a?f(1)?1将上述n?1个式子两边分别相乘，可得：an?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a1,(n?2)
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如an?1?pan?q（其中p,q均为常数且p?0）型的递推式： （1）若p?1时，数列{an}为等差数列; （2）若q?0时，数列{an}为等比数列;
（3）若p?1且q?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设an?1???p(an??),展开移项整理得an?1?pan?(p?1)?,与题设an?1?pan?q比较系数（待定系数法）得???qqqqqq?,(p?0)?an?1??p(an?)?an??p(an?1?),即?an??构p?1p?1p?1p?1p?1p?1??成以a1??qq?为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出?an??的通项整理可得p?1p?1??an.
法二：由an?1?pan?q得an?pan?1?q(n?2)两式相减并整理得
an?1?an?p,即?an?1?an?构成以a2?a1为
an?an?1首项，以p为公比的等比数列.求出?an?1?an?的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出an.
第 - 47 - 页 共 102 页
㈡形如an?1?pan?f(n)(p?1)型的递推式： ⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设an?An?B?p?an?1?A(n?1)?B?，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a1?A?B为首
项，以p为公比的等比数列?an?An?B?，再利用等比数列的通项公式求出?an?An?B?的通项整理可得an.
法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an?1?pan?f(n)，an?pan?1?f(n?1)两式相减得：
an?1?an?p(an?an?1)?d，令bn?an?1?an得：bn?pbn?1?d转化为类型Ⅴ㈠求出 bn，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出an.
⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设an??f(n)?p?an?1??f(n?1)?，通过待定系数法确定?的值，转化成以a1??f(1)为首项，以p为公比的等比数列?an??f(n)?，再利用等比数列的通项公式求出?an??f(n)?的通项整理可得an.
法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：an?1?pan?f(n)——①，an?pan?1?f(n?1)，两边同时乘
以q得anq?pqan?1?qf(n?1)——②，由①②两式相减得an?1?anq?p(an?qan?1)，即转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.
an?1?qan?p，在
an?qan?1法三：递推公式为an?1?pan?qn（其中p，q均为常数）或an?1?pan?rqn（其中p，q, r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以qn?1，得：
an?1pan1an??b???b?，引入辅助数列（其中），得：nnqn?1qqnqqnbn?1?p1bn?再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 qq⑶当f(n)为任意数列时，可用通法： 在an?1?pan?f(n)两边同时除以pn?1可得到
an?1anf(n)anf(n)???bb?b?，令，则，在转nn?1npn?1pnpn?1pnpn?1n化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得an?pbn.
类型Ⅵ 对数变换法： q形如an?1?pa(p?0,an?0)型的递推式： 第 - 48 - 页 共 102 页
q在原递推式an?1?pa两边取对数得lgan?1?qlgan?lgp，令bn?lgan得：bn?1?qbn?lgp，化归为
an?1?pan?q型，求出bn之后得an?10bn.（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如an?1?an?pan?1an（p为常数且p?0）的递推式：两边同除于an?1an，转化为为an?1?pan?q型求出1的表达式，再求an；
an11??p形式，化归anan?1还有形如an?1?man的递推式，也可采用取倒数方法转化成1?m1?m形式，化归为an?1?pan?q型求
an?1qanppan?q出1的表达式，再求an.
an
类型Ⅷ 形如an?2?pan?1?qan型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列{an?an?1}的形式求解。方法为：设an?2?kan?1?h(an?1?kan)，比较系数
k，得h?k?p,?hk?q，可解得h、于是{an?1?kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an?1?pan?q型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.
5、非等差、等比数列前n项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，则数列?an?bn?的求和就要采用此法.
②将数列?an?bn?的每一项分别乘以?bn?的公比，然后在错位相减，进而可得到数列?an?bn?的前n项和.
此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项an?裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设an?c (a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，采用
(an?b1)(an?b2)?an?b1??an?b2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得??c，从而可得
b2?b1cc11=(?).
(an?b1)(an?b2)(b2?b1)an?b1an?b2
常见的拆项公式有：
第 - 49 - 页 共 102 页
①
111??；
n(n?1)nn?1②
1111?(?);
(2n?1)(2n?1)22n?12n?111?(a?b);
a?ba?bm?1mm?Cn?1?Cn;
③④Cn⑤n?n!?(n?1)!?n!.
⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法 如果一个数列?an?，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1?an?a2?an?1?... ⑸记住常见数列的前n项和： ①1?2?3?...?n?n(n?1); 22②1?3?5?...?(2n?1)?n; ③1?2?3?...?n?22221n(n?1)(2n?1). 6第三章 不等式
§3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a?b?b?a ②（传递性）a?b,b?c?a?c
③（可加性）a?b?a?c?b?c
（同向可加性）a?b,c?d?a?c?b?d （异向可减性）a?b,c?d?a?c?b?d ④（可积性）a?b,c?0?ac?bc
a?b,c?0?ac?bc ⑤（同向正数可乘性）a?b?0,c?d?0?ac?bd
（异向正数可除性）a?b?0,0?c?d?a?b
cd⑥（平方法则）a?b?0?an?bn(n?N,且n?1) ⑦（开方法则）a?b?0?na?nb(n?N,且n?1) ⑧（倒数法则）a?b?0?1111?;a?b?0?? abab第 - 50 - 页 共 102 页
高中数学知识点总结（最全版）
