最新高中数学奥林匹克模拟真题（三）
一、填写题
}，记M的所有非空1．由10个元素组成的集合M?{1,99,?1,0,25,?36,?91,19,?2,11子集为Mi，i?1,2?,1023，每一个Mi中的所有元素之积为mi，则
1023i?1?mi= .
·O的半径为7，D,B,C为○·O上的三点，?BOC?120?，DC?DB?1，则2．○
DB= .
3．已知sin(x?20)?cos(x?10)?cos(x?10)，则tan x= .
???1yx2y2??1，则2?的取值范围是 . 4．若实数x，y满足44xxn25．所有能使[]为质数的正整数n的倒数和为 .
526．已知函数f(x)?loga(?ax?3x?2a?1)对任意的x?(0,1]恒有意义，则实数a的
取值范围是 .
7．设三位数n?abc，若a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数n有 个.
8．一个正三梭锥的体积为
2，则它的表面积的最小值为 . 32二、解答题：共56分，第9题16分，第10、11题各20分.
9．设点Z是单位圆x?y?1上的动点，复数W是复数Z的函数：W?试求点W的轨迹。
10．设二函数y?f(x)的图象过点O(0,0)，且满足?3x?1?f(x)?6x?2.数列
221，2(1?Z)1{an}满足：a1?,an?1?f(an).
3（1）确定f(x)的表达式； （2）证明：an?1?an； （3）证明：
1?3n?1?3. ?i?10.5?ai?n11．已知a,b,c?R，且满足
kabc?(a?b)2?(a?b?4c)2，求k的最小值.
a?b?c
第二试
·O经过?ABC的顶点A、B，且分别一、（本题满分40分）如图1，半径为为R的○与边CA、CB交于点D、E，AE与BD交于点P.求证：OC?OP?PC?2R.
二、设正实数a、b、c满足a?b?c，证明：a?b?c?6(c?a)(c?b)
为素数，求满足下列条件的直角三角形的个数：
（1）三角形的3个顶点都是整点，而且M是直角顶点； （2）三角形的内心是坐标原点.
（四）（本题满分50分）求所有的非零整数a,b,a?b，使得：可以把整数集分拆为3个子集，使得对每个n,n、n?a、n?b分别属于这3个集合.
A图1BDEPOC2222333222三、（本题满分50分）设M为坐标平面上坐标为（p·2002,7p·2002）的点，其中p
2012年高中数学奥林匹克模拟真题（三）答案
一、填空题： 1．—1.
1023i?1?mi?(1?1)·(99?1)·(?1?1)·(0?1)·(25?1)·(?36?1)·(?91?1)·(19
?1)·(?2?1)·(11?1)?1??1.
2．4.
连接BC.?OBC中，由余弦定理可得
BC?(7)2?(7)2?2·7·7·cos120??21.
设DB?x，则DC?x?1.
222x·(x?1)·cos60?，解得在?OBC中，由余弦定理可得(21)?x?(x?1)?2·x?4或x??5（舍去）.
3．3. 由已知等式可得
2cos10??sin20?sinxcos20?cosxsin20?2cosxcos10，所以tanx?又 ?cos20???2cos10??sin20??2cos(30??20?)?sin20? ?2(cos30?cos20??sin30?sin20?)?sin20?
3cos20??3cos20?sin20?sin20?3cos20，所以tanx??3. ?cos20????4．（—1，1）.
令x?2sec?,y?2tan?,??(?则
??,)，
221y1??cos2??sin? 2x2x1?1?(sin??1)2?(?1,1).
2375．.
60n2n2n2n?1,2,3时，[]都不是质数；n?4时，[]?3是质数；n?5时[]?5是质
555n2数；n?6时，[]?7是质数.
5当n?8时，可设n?5k?r（其中k为不小于2的正整数，r?0,1，或2）则
1n211?(5k?r)2?(25k2?kr?r2)?k(5k?2r)?r2， 5555n2n2所以[]?k(5k?2r)，因为k?2，所以5k?2r?2，所以[]?k(5k?2r)不
55是质数.
11137n2因此，能使[]为质数的正整数n只有4,5,6，它们的倒数和为???.
54566016．[,1)?(1,??).
2显然a?0且a?1.
由题意知?ax?3x?2a?1?0对一切x?(0,1]恒成立，即a?23x?1对一切2x?2x?(0,1]恒成立.
3x?1?3x2?2x?6令g(x)?2，则g?(x)?，显然，对一切x?(0,1]，g?(x)?0，22x?2(x?2)所以函数g(x)?3x?1在(0,1]上单调递减，因此，当x?(0,1]时，g(1)?g(x)?g(0)，即x2?211
?2?g(x)?.因此，a?.
22
1综合可知：实数a的取值范围是[,1]?(1,??).
27．165.
因为a,b,c为边长，且分别是n的百位数字，十位数字和个位数字，所以
a,b,c?{1,2,3?,9}.
（1）如果以a,b,c为三条边的长构成等边三角形，则a?b?c，这样的三位数n有9个；
（2）如果以a,b,c为三条边的长构成等腰（非等边）三角形，则a,b,c中恰好含有两个不同的数码，不妨设为A,B(A?B).这时，又有两种情况：
2①三个数为A,A,B,这样的三位数n有3C9?108个；
②三个数为A,B,B，则B?A?2B，列表可知有如下16种可能. A B 个.
综上可知，满足条件的三位数n共有9+108+48= 165 个.
32. 8．23·3 2 4 3 5 3 5 4 6 4 6 5 7 4 7 5 7 6 8 5 8 6 8 7 9 5 9 6 9 7 9 8 对于A、B的每一组值，可以确定3个不同的三位数，所以，这样的三位n有3?16?48设三棱锥的底面正三角形的边长为a，斜高为h，侧面与底面而所成角?，易知
a?23hcos?，正三棱锥的高H??.
因为正三棱锥的体积为
13222H?，所以·a·，
343321323··(23hcos?)2·hsin??，所以h?. 234333·sin?·cos?正三棱锥的表面积
S?321a?3··ah 42?31·(23hcos?)2?3··23hcos?·h 42?33h2cos?(1?cos?). S3?813h6cos3?(1?cos?)3
?813·(233·sin?·cos2?)2cos3?(1?cos?)3
(1?cos?)2 ?63·(1?cos?)·cos??63·(1?3cos??1)，
cos??cos2?1cos??cos2?记f(?)?，令t?1?3cos?，则cos??(t?1)，
1?3cos?311(t?1)?[(t?1)]23f(?)?g(t)?3 t514??(t?) 99t?514?·2t· 99t?1， 91时取等号. 3当且仅当t?2，即cos??333(9?1)?483，所以S?23·2，故S的最小值为23·2. 因此，S?63·二、解答题：
9．?|Z|?1，?设Z?cos??isin?，1?Z?2cos??????cos?isin?。令2?22?W?x?yi，则
x?yi?1?1?Z?2?4cos21?????cos?isin??2?22?2
数学联赛考前练习题五套
