2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4-6 正弦定理和余弦定理【含答案】

由天下分享时间：2025/1/22 21:31:00 加入收藏我要投稿点赞

2021届高三高考数学文科一轮复习知识点

专题4.6 正弦定理和余弦定理

【考情分析】

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【重点知识梳理】

知识点一正弦定理和余弦定理

1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2公式 abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；常见变形 abc(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ab111abc1

2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，

2224R2r.

3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角图形关系式解的个数 a＝bsin A 一解 bsin Ab 一解 a≤b 无解知识点二三角函数关系和射影定理

1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

A＋BA＋BCC(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.

22222.三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B?a>b?sin A> sin B?cos A

高频考点一利用正、余弦定理解三角形

【例1】【2020·江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a?3,c?2,B?45?．（1）求sinC的值；

4（2）在边BC上取一点D，使得cos?ADC??，求tan∠DAC的值．

【解析】（1）在△ABC中，因为a?3,c?2,B?45?，

由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得b2?9?2?2?3?2cos45??5，所以b?5.

在△ABC中，由正弦定理得52， =sin45?sinC5. 5bc， ?sinBsinC所以sinC?4（2）在△ADC中，因为cos?ADC??,所以?ADC为钝角，

5而?ADC??C??CAD?180?,所以?C为锐角. 故cosC?1?sin2C?25sinC1,则tanC??. 5cosC243sin?ADC3因为cos?ADC??，所以sin?ADC?1?cos2?ADC?，tan?ADC???.

55cos?ADC4从而

31??tan(?ADC??C)42=2. tan?ADC?tan(180???ADC??C)??tan(?ADC??C)=?=?31111?tan?ADC?tan?C1?(?)?42 【举一反三】(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B1b

＝4csin C，cos A＝－，则＝( )

A．6 C．4

B．5 D．3

【答案】A 【解析】∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

b2＋c2－a2b2＋c2－（4c2＋b2）－3c21b

由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.

2bc2bc2bc4c故选A。

(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. ①求A；

②若2a＋b＝2c，求sin C.

【解析】①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a21

由余弦定理得cos A＝＝.

2bc2因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.