观察——归纳—猜想——找规律
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题
的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2）猜想符合规律的一般性结论；
（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.
一、数字类
基本技巧
（一）标出序列号：
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。 我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n-1 （二）公因式法：
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。
2(2n?1)例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（ ），
21，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以
此类推。
（三）增副
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n的3次幂，即：n+1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……，
序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为n?1。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在n?1的基础上加2，得
2n?1 到原数列第n项
223n（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并
恢复到原来。
例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）
同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n，则求出第一百个数为4*100=40000 (一)等差数列
例题：2，5，8，( )。
例题5： 12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列
222 例题1： 2，1，1/2，( )。 A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1
例题2： 2，8，32，128，( )。 (三)平方数列
1、完全平方数列： 正序：1，4，9，16，25 逆序：100，81，64，49，36 2、一个数的平方是第二个数。 1)直接得出：2，4，16，( 256 )
解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。 2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：
1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。 3、隐含完全平方数列：
1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( 35 )
前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35 2)相隔加减，得到一个平方数列： 例：65，35，17，( 3 )，1 A.15 B.13 C.9 D.3
解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。 * (四)立方数列
立方数列与平方数列类似。
例题1： 1，8，27，64，( 125 )
解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。 例题2：0，7，26，63 ，( 124 )
解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。 (五)、加法数列
数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3 例题1： 1，1，2，3，5，( 8 )。 A8 B7 C9 D10
解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3 +5=8答案为A。 例题2： 4，5，( 9 )，14，23，37 A 6 B 7 C 8 D 9 解析：与例一相同答案为D
例题3： 22，35，56，90，( 145 ) 99年考题 A 162 B 156 C 148 D 145
解析：22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为D (六)、减法数列
前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3 例题1：6，3，3，( 0 )，3，-3 A 0 B 1 C 2 D 3 解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”) (七)、乘法数列
1、前两个数的乘积等于第三个数
例题1：1，2，2，4，8，32，( 256 ) 前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。 例题2：2，12，36，80，( ) (2007年考题) A.100 B.125 C.150 D.175
2 解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一项应该为6×25＝150 选C，此题还可以变形为：1?2，
222?3，32?4，42?5…..,以此类推，得出n?(n?1)
2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。
例题2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99年海关考题) A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9
解析：3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A。 (八)、除法数列
与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式： 1、两数相除等于第三数。
2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。 (九)、质数数列
由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19… (十)、循环数列
几个数按一定的次序循环出现的数列。 例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4
以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。 1、二级数列
这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。 例1：2 6 12 20 30 ( 42 ) A.38 B.42 C.48 D.56
解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。
例2：20 22 25 30 37 ( ) A.39 B.45 C.48 D.51
解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。
例3：2 5 11 20 32 ( 47 ) A.43 B.45 C.47 D.49
解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。 例4：4 5 7 1l 19 ( 35 ) A.27 B.31 C.35 D.41
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8这是一个等比数列，因而要 选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。 例5：3 4 7 16 ( 43 ) A.23 B.27 C.39 D.43
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。
例6：32 27 23 20 18 ( 17 )
初中数学竞赛专项训练找规律题
