2.3 等差数列的前n项和（第一课时）
教学内容分析
本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书——数学(必修五)》(人教A版)第二章第三节“等差数列的前n项和”(第一课时)。本节课是在学习了等差数列的定义、通项公式及相关性质的基础上来学习的，主要研究如何应用“倒序相加法”求等差数列的前n项和，并能利用该公式解决简单的数列求和问题。等差数列在现实生活中比较常见，因此，等差数列的求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题。另外，通过对等差数列前n项和公式的推导过程的探究与思考，可以培养学生认识事物规律时从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法，有利于学生在认知世界过程中形成科学的认识观和方法论。 学生学习情况分析
本节课授课班级是我校高二年级的文科平行班，学生学习基础一般，数学成绩中等偏多，对授课教师的课堂设计和有效的教学引导提出一定的要求。学生在本节课之前，已经学习了等差数列的定义、通项公式和相关性质，并对高斯算法有所了解，这些都为课堂上介绍“倒序相加法”，来研究等差数列的前n项和公式奠定了基础，降低了难度。但是，在由高斯算法引入，到转而采用“倒序相加法”，利用等差数列的性质首位配对，对等差数列前n和进行探究，这一研究思路的获得，可能会成为学生学习上的一大障碍，也是本节课的难点所在。 设计思想
人本主义学习理论以“人”为中心，把认知和情感合二为一，以便培养出完整的人，强调学生学习内部动机的重要性。在其基础上建立起来的教学观认为教学的目标在于促进学习，教学活动的重心是学生，倡导学生在好奇心的驱使下，进行以经验为中心的“有意义的自由学习”，而不是教师强迫下学生无助地、顺从地学习，教师应成为学生“学习的促进者”。因此，本节课的教学设计围绕学生展开，在具体问题情境中发现问题，让学生带着思考，经历三个由易到难，由特殊到一般的问题探究，层层铺垫展开学习。教师组织学生在自主探究、独立思考及合作交流中，完成对等差数列前n项和公式的研究性学习，获得思想、情感、体验和行为上的收获。 教学目标
1. 知识与技能
理解等差数列前n项和的意义，会选择不同的等差数列前n项和的求和公式解决简单的不同类型的等差数列的求和问题。
2. 过程与方法
经历特殊等差数列的求和探究过程，以及等差数列前n项和公式的推导过程，体会等差数列前n项和倒序求和以及配对的思想方法。
3. 情感、态度和价值观
在问题的探究过程中体验从特殊到一般，又从一般到特殊的认识事物的规律，感悟类比、转化等数学思想，获得合作探究解决问题，积极主动学习的乐趣。
教学重点与难点
教学重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式，并会应用该公式解决一些简单的等差数列的求和问题。
教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
教学过程
（一） 复习回顾，承上启下 1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
数学表达式：an-an-1=d (n≥2)
2. 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d (n∈N)
拓展公式： an=am+(n-1)d (m 、n均∈N，且n＞m≥1)
3. 等差数列的有关性质
(1)若a、A、b组成等差数列，则2A=a+b ，A叫a与 b的等差中项。
(2)若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq 特别地，若m、n、p∈N，且m+n=2p，则am+an=2ap 。 (3)a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak-1+ak+1=… (n、k∈N)
【设计意图】复习回顾课前有关准备知识，为课堂上有效教学奠定基础，扫除障碍。
（二） 创设情境，呈现问题
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泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡之程度，可见一斑。你们知道这个图案一共花了多少宝石吗？
【设计意图】情境学习理论认为数学学习离不开具体的背景情境，良好的问题情境可以更加激发学生的学习兴趣，激发探究的欲望。
【知识链接】著名的德国数学家高斯的一个小故事
在高斯10岁的时候，他的老师出了一道数学题：1+2+3+4+…+100=？在别的同学都在忙着计算的时候，高斯很快得出了正确答案，你知道高斯是怎么算出来的吗？ （1+100）+（2+99）+（3+98）+…+(50+51) = 50×101 = 5050
【学情预设】学生们对于高斯算法并不陌生，因此，很容易得出这个问题的计算结果，但是恕不知高斯算法里其实蕴含着等差数列求和的一般规律。学生对这种算法大部分是停留在表面的模仿和机械记忆阶段，缺乏对“首位配对法”深层次的思考。那么教师在课堂上应给予学生充分的时间观察、思考，建议采用小组合作学习的方式，生生互动，达到对问题的进一步认识。此时，为了使学生更好地认识和理解高斯算法，教师在学生算出结果后，可以不时机地提出课前精心预设好的三个问题，由浅入深，由易到难，逐层深入地探索与发现“首位配对法”可能存在的局限，寻找等差数列求和一般规律和解决方法。
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
教师组织学生采用小组合作学习的方式，积极讨论，并以小组汇报的形式展示问题的解决方法。
【学情预设】学生可能有以下方法：
生1：(1+21)+(2+20)+(3+19)+ … +(10+12)+11=231 生2：(1+20)+(2+19)+(3+18)+ … +(10+11)+21=231
生3：0+1+2+3+ … +21=(0+21)+(1+20)+(2+19)+(3+18) + … +（10+11）=231 ……
【设计意图】这是等差数列奇数项的求和问题，由于奇数无法完成全部两两配对，因此需要学生积极拓展思维，培养学生转化与回归的思想。
问题2：图案中，第1层到第n层（n∈N）一共有多少颗宝石？
教师再次组织学生采用小组合作学习的方式，积极讨论，并以小组汇报的形式展示问题的解决方法。
【学情预设】学生通过生生之间交流、讨论后，发现要想采用高斯“首尾配对”的算法，必须对项数n是奇数还是偶数展开分类讨论，这样就使得问题的解决显得更加麻烦了。教师应发挥积极有效的引导作用，提出“有没有更加简便的方法呢？”，避免学生在此环节做过多讨论，浪费课堂时间。同时，有效把握好课堂预设与生成的关系。
【设计意图】遵守从特殊到一般，由简单到复杂的科学研究方法，教师一方面放手让学生去积极思考，不断前进，在探索过程中获得深刻的认知体验和积极的自我心理暗示：“首位配对法”不是万能的，也不一定是最简便的，更重要的是使学生自然地受到问题的驱动，积极探究。另一方面，把求确定的若干个正整数之和的问题，扩展到求不确定的n个正整数之和，都是对学生思维提出的挑战。
【课件展示】
1 n
n-1 n-2 ﹡
2 3 n 1
【设计意图】将全等三角形倒置，借助几何图形，把抽象问题简单化、直观化，既符合
学生的认识规律，又渗透了数形结合的数学思想。
（三）探究发现，类比猜想，总结公式 问题3：对于一般的等差数列探究）
1.数列前n项和SN的定义： 一般地，我们称
?an?，我们该如何求其前n项和呢？（用字母代替数来
a1?a2?a3?????an为数列?an?的前n项和，用Sn表示，即
Sn?a1?a2?a3?????an。
2.用倒序相加法求等差数列的前n项和SN
【学情预设】学生受第2个问题的启发，在教师引导下，有组织地进行自主探究与合作学习，寻找问题的解决办法。问题1、2与问题3联系密切，过渡自然，且为问题3的求解做铺垫，学生更有信心探究问题的答案。教师可组织课堂讨论，采用提问等方式听取学生的解决思路。
生:
QSn?a1?a2?a3?????anSn?an?an?1?an?2?????a1两式相加：
2Sn=(a1+an)+(a2+an+1）+(a3+an-2 )+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1） 利用等差数列的性质：
若m、n、p、q∈N，且满足m+n=p+q，则am+an=ap+aq 得到 Sn?﹡
n(a1?an) ————公式一
2
（由于学生已学过等差数列的通项公式，教师可再次组织学生讨论，形成公式二） 又由于
an?a1?(n?1)d代入到公式一中，整理，得到
n?n?1?d Sn?na1?2 —————公式二
师生共同探究出等差数列的求和公式后，教师可带领学生对两个公式稍加分析比较，寻找相同点和不同点，每个公式涉及的四个变量做到“知三求一”，可以建立方程求解，向学生渗透方程的思想。
【知识链接】为了帮助学生理解和记忆公式，教学时可以用学生熟知的梯形面积公式，
高中数学 2.3等差数列的前n项和(第1课时)教案 新人教A版必修5
