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函数与极限测试题（一）
一、
填空题
1、若f??1?lnx?1??，则f?x??_____。
1?lnx??x2、函数f?x?的定义域为?a,b?，则f?2x?1?的定义域为_____。
1?x22?x?3、若x?0时，无穷小ln与等价，则常数a?_____。 asin2??1?x?2?4、设f?x??lim二、
单选题
?n?1?xnx?12n??，则f?x?的间断点为x?_____。
1、当x?0时，变量
11是（ ） sin2xx A、无穷小 B、无穷大
C、有界的，但不是无穷小 D、无界的，也不是无穷大 2、设函数f?x??（ ）
A、a?0,b?0 B、a?0,b?0 C、a?0,b?0 D、a?0,b?0 3、设f?x??2?3?2，则当x?0时（ ）
xxx在???,???上连续，且limf?x??0，则常数a,b满足bxx???a?e A、f?x?与x是等价无穷小 B、f?x?与x是同阶但非等价无穷小 C、f?x?是x的高阶无穷小 D、f?x?是x的低阶无穷小
4、设对任意的x，总有??x??f?x??g?x?，且lim?则limf?x??g?x????x????0，
x??x??为（ ）
A、存在且等于零 B、存在但不一定等于零 C、一定不存在 D、不一定存在
可编辑
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例：??x??x,f?x??x?12x?2,g?x??x?1 x?1三、 求下列极限
1、
x???lim4x?x?1?x?1x2?sinx2?2x??x?1?2 2、lim?2 ?x?1x?1??2x四、
?ln?1?ax3???1?tanx?1?sinx?确定a,b的值，使f?x???b?211?x?x?ln2x1?x?x??x?0x?0在???,???内连x?0续。
x1x1x五、
指出函数f?x??e?e的间断点及其类型。
e?1?e六、
设a1,a2,a3,a4为正常数，证明方程
aa1aa?2?3?4?0有且仅有三个实xx?1x?2x?3根。 七、
设函数f?x?,g?x?在?a,b?上连续，且满足f?a??g?a?,f?b??g?b?，证明：
在?a,b?内至少存在一点?，使得f????g???。
函数与极限测试题答案（一）
一、1、
e1?x1?x； 2、
?a?1??2,b?1?2??； 3、
?4； 4、0；
二、1—4、DCBD
4?三、1、解：原式?limx???111?2?1?xxx?3；
sinx1?2x可编辑
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x?1??22????x?1????x?1??2、解：原式?lim??1???2x?1??x?1??????2?2xx2?1?e?1
四、解：注意当??4?x???2时，1?tanx无意义，所以不存在a,b的值使f?x?在
。改后即要???,???内连续。此题应把“在???,???内连续”改为“在x?0处连续”求limf?x??f?0??b，此式等价于limf?x??limf?x??f?0??b，即 ??x?0x?0x?0?2x??ln1???11?x?x2?21?x?x2??limln?lim?lim??2?b 22??x?0?xx?0x?01?x?xx1?x?xlim?ln?1?ax3?1?tanx?1?sinx?lim?x?0ln?1?ax3??1?tanx?1?sinxx?0tanx?sinx?
?lim?x?0ax3?1?tanx?1?sinx13x2??4a?b??2 所以a??1,b??2。
2?11??五、解：x?0,x??1是此函数的间断点，因为x?0时，???，ex?e?0，
x1x111??x?ee?e???x?0所以lim，时，又因为，，????0，所以11x?0?xe?1?exexe?ex?x?0lim?e?ex1x1xexe?lim?1x?0?ee1x1x?1?1，x?0是跳跃间断点。 ?1e?1?e因为lime?ex1x1xx??1?1，x?1是可去间断点。
a?x?1??x?2??x?3??a2x?x?2??x?3??a3x?x?1??x?3??a4x?x?1??x?2?aa2a?3?4?1 x?1x?2x?3x?x?1??x?2??x?3?e?1?e六、证明：因为a1?x分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三
可编辑
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个实根；又因为lim??x?0aaa??a1?2?3?4???? ?xx?1x?2x?3?a3a3a2a4?a2a4??a1?a1lim??????lim???，??????? x?1??xx?1??xx?1x?2x?3?x?1x?2x?3?a3a3a2a4?a2a4??a1?a1lim??????lim???，?????? ??x?2??xx?2x?1x?2x?3??xx?1x?2x?3?a3a2a4??a1lim????????，所以利用零点定理，在区间 x?3??xx?1x?2x?3??0,1?,?1,2?,?2,3?原方程分别至少有一个实根。所以原方程有且仅有三个实根。
七、证明：在区间?a,b?上考虑函数F?x??f?x??g?x?，由已知可得F?x?在?a,b?上连续。F?a??f?a??g?a??0,F?b??f?b??g?b??0 1）如果F?a??0或F?b??0，则?可取a或b。
2）如果F?a??0且F?b??0，由零点定理，至少存在一点???a,b?，使得F????0即
f????g???。
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函数与极限测试题及答案(一)
