方法精讲-数量 4（笔记）
启智职教的店 第八节 容斥原理
【知识点】1.两集合容斥原理。
（）1 （）2 （）3
识别：多主体（两主体）、有交叉。 公式：A+B-A∩B=总数-A、B都不满足个数。
公式推导：如图所示，圈A和圈B，中学学的几何问题，就是求两个
圈覆盖的面积，A+B，多加了中间相交的部分，所以减去A∩B，则等式可写为： A+B-A∩B=总-空白。公务员考试中会把面积变成一些条件，例如满足条件1 的、满足条件2的、两个条件均满足的等。 （）4
例如：我们班在线听课的有150人，有钱的有90人，任性的有70人，
没钱不任性的有3人，求有钱任性的人数？
答：该题为容斥原理问题，有钱的为90人，任性的有70人，“有钱的”为
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条件A，“任性的”为条件B，设有钱任性的为x人，根据公式B=总数-A、B都不满足个数，代入数据得90+70-x=150-3。
2.三集合容斥原理（一会讲）。
【例 1】（2019 江苏）市电视台向 150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中 108 人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是：
A.17 C.29
B.22 D.38
【解析】例 1.“108 人看过甲频道，36 人看过乙频道”，出现两个主体，且两主体有交叉，属于两集合容斥原理问题，公式：A+B-A∩B=总数-都不满足的， 代入数据，108+36-23=150-x，计算时结合选项，选项尾数不同，考虑尾数法， 8+6 尾数为 4，4-3 尾数为 1，则左边尾数为 1，右边 10-9 尾数才为 1，对应 C 项。【选 C】
【注意】考试中一旦考查容斥原理问题，必须要拿分。
【例 2】（2018 广州）篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发给 13 个人，每人最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有 9 个人拿到了苹 果，有 8 个人拿到了梨，最后全部分完。那么，有多少人只拿到了苹果？
A.4 C.6
B.5 D.7
【解析】例 2.问“只拿到苹果”“已知有 9 个人拿到了苹果，有 8 个人拿到 了梨”出现两个条件，总共有 13 人，肯定重复交叉，属于容斥原理问题。看不明白就画图，如下图所示，左边为拿到苹果的人数，右边为拿到梨的人数，只拿到苹果的区域为右边阴影部分，只拿到苹果的人数=拿到苹果的人数-两者都拿到的人数，设两者都拿到的人数为 x，由题意“每人最少拿一个”，可得两者都不拿的人数=0，根据公式：A+B-A∩B=总数-两者都不拿的人数，9+8-x=13-0，求出x=4，只拿到苹果的人数=9-4=5 人，对应 B 项。【选 B】
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【注意】该题和上一题的区别在于该题求“只拿到苹果的人数”，不好理解， 就画图来看。
【知识点】三集合标准型：
1. 识别：三主体、出现 A∩B、A∩C、B∩C。 2. 公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=全-都不。
3. 公式推导：如图所示：三个圈分别为 A、B、C，用面积的方式进行推导，
A+B+C，A 和 B 重合的部分加了两次，所以需要减去一次 A∩B，同理 A 和 C 重合的部分加了两次、B 和 C 重合部分加了两次，分别减去一次 A∩C 和 B∩C，最中间 A、B、C 重合的部分加了 3 次，减 A∩B 时，减了一次，减 A∩C 时，减了一次， 减 B∩C 时，减了一次，共减了 3 次，所以还要加上 A∩B∩C，所以 A+B+C-A∩B-A ∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不，该公式为三集合的标准型公式，该公式较长，不要死记硬背，可结合具体题目记忆。
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