进行多种假设 拓宽解题思路
吴乃华
“假设法”是思考问题的方法之—。在数学中，实际上是根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据的改变，把原问题转化成一个新的问题，而且新的问题易于理解和解决，是一种迂回战术，表面上看解题的步骤变多了，但实际上退一步海阔天空，一些问题的获解，或者取得解题的捷径，往往就在大胆的作假设之后探求得出。无疑，这种思考方法对培养学生的直觉思维、分析思维是大有裨益的。
【例 1】甲乙二人合做一件工作，12天可以完成。中途，甲因事停工5天，因此共用了15天才完成。单独做甲要几天?
这题如果按常规思路，甲停工5天，乙在继续工作，必须先求出乙每天的工作效率，最后才能求出甲单独做所需要的天数。算式是：
1÷｛ －［1－ ×（15－5）］÷5}＝20(天).
如果假设甲一天也没停工，两人合做了15天，则超过工作总量的 ×15－1＝ ，已知甲工作5天就能完成工作总量的 ，那么，甲单独完成这件工作，就需 5÷( ×15－1)＝20(天)。
此法避开了常规的思路，舍弃了乙单独工作5天的间接条件，单刀直入，既简单明了，又合情合理。这充分说明，“假设”的思考方法，是打开学生直觉思维之门的重要手段。
一般来说，用“假设法”解答的一类分数应用题，都是由传统的“鸡兔问题”演变而来，我认为，其解答方法就不能囿于“置换” 的固有程式。今天的学生不同于过去的学生，今天引导学生思考问题的方法，也应有别于传统的方法，不妨把“假设”的思路拓宽一些。
【例2】 一件工作，由甲单独工作， 8小时可以完成，由乙单独工作，12小时可以完成。现在这件工作先由甲单独工作，几小时后，甲因急事离开，由乙将剩余部分完成，前后共用了9.5小时。问甲、乙各工作了几小时?
按传统的解法有下面两种：
[解法一] 假设9.5小时全由甲工作，则乙实际工作了 (1/8×9.5－1)÷(1/8－1/12)＝4.5（小时）。 [解法二] 假设9.5小时全由乙工作，则甲实际工作了 (1- 1/12×9.5)÷(1/8－1/12 )＝5（小时）。 除以上两种方法之外，还可以引导学生作如下假没：
[解法三] 假设甲工作了8小时，则比实际用的时间少9.5－8＝1.5(小时)。
乙每小时的工作量，甲只要是1/12÷1/8＝2/3（小时），比乙少花，1－2/3＝1/3（小时)。
1.5 (小时)里含有多小个1/3（小时)，就是乙实际工作的小时数，即 (9.5－8)÷(1－ 1/12÷1/8 )＝4 .5 (小时)。 根据上述思考方法，还可以得到下面的一种解法：
[解法四] 假设乙工作了12小时，则甲实际工作的时间是： (12－9.5)÷( 1/8÷1/12－1)＝5 (小时)。
[解法五] 假设甲工作了9.5小时，就会超过工作总量的1/8× 9.5－1＝1/16，
因为甲本来只要8小时就可完成任务，我们假设他工作了9.5小时。 甲每小时的工作效率比乙快1/8÷1/12－l＝1/2，
从而得出，乙实际完成了工作总量的1/16÷1/2＝3/8，因此乙工作了 (1/8× 9.5－1)÷(1/8÷1/12－1)÷1/12＝4.5（小时）。 同样，根据上述思路，也可以得到下面的一种解法。
[解法六] 假没乙工作了9.5小时，则甲实际工作了 (1－1/12×9.5)÷(1－1/12÷1/8 )÷1/8＝5 (小时)
以上六种解法，后四种虽然较传统的前一、二种解法有所突破，但毕竟仍有一定的模式，想到了解法三、五，必定就有了解法四、六。其实，甲和乙的实际工作时间是可以任意假设的。
[解法七］假定在9.5小时中，甲工作了6小时，乙工作了3.5小时。这样， 共同完成的工作量是 1/8× 6＋1/12×3.5＝25/24， 超额了工作总量的 25/24－1＝1/24。 原因是，甲没做6天。甲每天的工作效率比乙快1/8－ 1/12＝1/24 从而得出 1/24÷1/24＝1 (小时），是把甲多估算了1小时。 因此甲实际工作了 6－1＝5（小时）。 乙工作了 3.5+1＝4.5（小时)。
上述解法，都适用于由“鸡兔问题”演变而来的一切类似题。 当然，还可以作其它假设，但假设时要考虑计算的方便。
进行多种假设 拓宽解题思路
