2002年全国高中数学联赛试题及参考答案
试题
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ）。
（A）（－∞,－1） （B）（－∞,1） （C）（1,＋∞） （D）（3, ＋∞） 2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（ ）。 （A）2 （B）1 （C）√3 （D）√2 3、函数f(x)=x/1-2x-x/2（ ）
（A）是偶函数但不是奇函数 （B）是奇函数但不是偶函数 （C）既是偶函数又是奇函数 （D）既不是偶函数也不是奇函数
4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（ ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（ ）。 （A）C50100 （B）C4899 （C）C49100 （D）C4999
6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（ ）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2
二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为Z2)∣= 。
8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个。
9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有 个。
10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= 。
11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是 。
12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、已知点A（0,2）和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。
14、如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。 （1） 求数列｛Sn｝的通项公式； （2） 求limSn. n→∞
60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋
15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件： （1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2） 当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2; （3） f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。 参考答案 一、 选择题
1、 由
x-2x-3的定义
2
2
2
＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x-2x-3)域为x＜-1
2
或x＞3。二次函数u=x-2x-3在（-∞，-1）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减，所以log1/2(x-2x-3)在(-∞,-1)单调递增，故选A。
2、(x+5)+(y-12)=14是以点C(-5,12)为圆心，半径为14的圆。设P为圆上任一点，则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1
当点C、O、P共线时，等号成立，所以P到点O的最小值为1，故选B。 3、函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为
f(-x)=(-x)/(1-2)-(-x)/2=(-x2)/(2-1)+(x/2)=(x+x(2-1))/(1-2)+(x/2)=(x/(1-2))-x+(x/2)=(x/(1-2))-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。
x
-x
x
x
x
x
x
2
2
2
4、设P1(4cosα,3sinα)(0＜α＜(π/2))，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB面积S，
S=SΔOAP1+SΔOBP1=(1/2)×4(3sinα)+(1/2)×3(4cosα)=6(sinα+cosα)=6√2sin(α=(π/4)), ∴Smax=6√2(此时α+(π/4)). ∵SΔOAB=(1/2)×4×3=6为定值， ∴SΔP1AB的最大值为6√2－6. ∵6√2－6＜3,
∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B。 5、不妨设b1＜b2＜…＜b50，将A中元素a1,a2,…,a100按顺序分为非空的50组。 定义映射f:A→B，使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1,2,…,50).
易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为C共有C
4999
4999
，则这样的映射
，故选D。
6、如题图，两图形绕y轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为∣y∣，则所得截面面积
S1=π(4-4∣y∣)，
2
S2=π(4-y)-π[4-(2-∣y∣)]=π(4-4∣y∣) ∴S1=S2
由祖暅原理知，两几何体体积相等， ∴Ｖ1=Ｖ2，故选Ｃ. 二、 填空题
７、如图，由余弦定理可得：∣Z1+Z2∣=√19, ∣Z1-Z2∣=√7，所以∣(Z1+Z2)／(Z1－Z2)∣=(√19)/(√7)=(√133)/7.
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2002年全国高中数学联赛试题及参考答案
