排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用
捆绑法:当要求某几个元素必须相邻(挨着)时,先将这几个元素看做一个整体, (比如:原来 3个元 素,整体考虑之后看成 1个元素)然后将这个整体和其它元素进行考虑。这时要注意:一般整体内部各元素 如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法:当要求某几个元素必须不相邻(挨着)时,可先将其它元素排好,然后再将要求不相邻的元素 根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
1的隔板插入 插隔板法:指在解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比分组数目少 到元素中的
一种解题策略。题目特点:“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
2个新节目,有多 例1 :一张节目表上原有 3个节目,如果保持这 3个节目的相对顺序不变,再添进去
少种安排方法? A.20 B.12 D.4 C.6
分两种情况考虑
1、 这两个新节目挨着,那么三个节目有 2、 这两个节目不挨着,那么三个节目有
4个空,又考虑到这两个节目的先后顺序共有
2X C:=8 种
4个空,这就相当于考虑两个数在 捆绑法和插4个位置的排列,由 P;=12种
)种站法。
空法。
综上得,共8+12=20种 此题中使用了 例2: A、B C D E五个人排成一排,其中 A、B两人不站一起,共有(
A.120
B.72
C.48
D.24
插空法:我们来这样考虑,因 A、B两人不站一起,故可考虑的位置
C、D E, CD E三个人站在那有
一共留出4个空,将A B分别放入这4个空的不同的空中,那就是 这样考虑了之后,还有一点就是
4个空中取2个空的全排列,即 巳2=12。
C、D E三个人也存在一个排列问题,即
巳
2
=6,综上,共有6*12=72种
)种站法。
例3: A B C、D、E五个人排成一排,其中 A、B两人必须站一起,共有( A.120 B.72 C.48 捆绑法:此题和上一题实质是一样的,我们来这样考虑, 们看成一个人,那么我们就要考虑其和
D.24
A、B两人既然必须站在一起,那么索性我们就把他
C D E共4个人的全排列,即 P44=24,又因为A、B两人虽然是站
戌=2,综上,共有48种。
在一起了,但还要考虑一个谁在前谁在后的问题,这有两种情况,也就是
例4:将8个完全相同的球放到 3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法? A. 20 B.21 C.23 D.24
插隔板法:解决这道题只需将 8个球分成三组,然后依次将每一个组分别放到一个盒子中即可。 3个组可以这样,用 2个隔板插到这8个球中,这样就分成了 在8个球的空隙中放 2个隔板有多少种放法的问题。 放法,即21种.
例5 :有9颗相同的糖,每天至少吃1颗,要4天吃完,有多少种吃法? A. 20
B.36
C.45
D.56
插隔板法:原理同上,只需用3个隔板放到9颗糖形成的8个空隙中,即可分成4天要吃的。就有C;=56种。
8个球分成
3个组。这时我们考虑的问题就转化成了我们
8个球有7个空隙,7个空隙要放2个隔板,就有C;种
不邻问题插板法解题要点
“不邻问题”插板法一一先排列,再插空
“不邻问题”插空法,即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时,先将其它元素排好,再将指定的不 相邻的元
素插入已排好元素的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。
例1:若有A、B、C D E五个人排队,要求 A和B两个人必须不站在一起,则有多少排队方法 ? 【解析】题目要求 A和B两个人必须隔开。首先将 C D E三个人排列,有种排法;若排成DCE则D C、E “中
间”和“两端”共有四个空位置,也即是D^C E^,此时可将 A B两人插到四个空位置中的 任意两个位置,有种插法。由乘法原理,共有排队方法:。
例2 :在一张节目单中原有 6个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去 3个节目,则所有不 同的添加方法共有多少种 ?
【解析】直接解答较为麻烦,可利用插空法去解题,故可先用一个节目去插 7个空位(原来的6个节目
排好后,中间和两端共有 7个空位),有种方法;再用另 一个节目去插8个空位,有种方法;用最后一个节目
去插9个空位,有种方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为 =504种。
例3: 一条马路上有编号为 1、2、,,、 9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏关掉,但不 能同时关掉相邻的两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种 ?
【解析】若直接解答须分类讨论,情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏 灯去插7个空位,共有种方法(请您想想为什么不是),因此所有不同的关灯方法有种。
【提示】运用插空法解决排列组合问题时,一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端 空位”。
解题过程是“先排列,再插空”。
计数之插板法总结:
插板法就是插板法就是在 n个元素间的(n-1 )个空中插入 若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1) 组的方法。应用插板法必须满足三个条件:
(1)这n个元素必须互不相异 (2)所分成的每一组至少分得一个元素 (3)分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明:把 10个相同的小球放入 3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?
问题的题干满足条件(1)( 2),适用插板法, C2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 :
a 凑元素插板法 (有些题目满足条件(1),不满足条件(2),此时可适用此方法) 1 :把10个相同的小球放入 3个不同的箱子,问有几种情况?
2:把10个相同小球放入 3个不同箱子,第一个箱子至少 1个,第二个箱子至少 3个,第三个箱子可以 放空球,有几种情况?
b添板插板法
3 :把10个相同小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
4:有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如 257,1459等等,这类数共有几个?
5:有一类自然数,从第四个数字开始,每个数字都恰好是它前面三个数字之和,直至不能再写为止,如 2349,1427等等,这类数共有几个?
答案:
1、 3个箱子都可能取到空球,条件(2)不满足,此时如果在 3个箱子种各预先放入 就等价于把13个相同小球放入 3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?
1个小球,则问题 显然就是c12 2=66
c8 2=28
11
2、 我们可以在第二个箱子先放入 10个小球中的2个,小球剩8个放3个箱子,然后在第三个箱子放入 8个小球之外的1个小球,则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子,每箱至少1个,几种方法?
3、 -0 - o - o - o - o - o - o - o - o - o -
o 表示 10 个小球,-表示空位,
个空位中取2个加入2块板,第一组和第三组可以取到空的情况,第 2组始终不能取空,此时 若在 第11 个空位后加入第12块板,设取到该板时,第二组取球为空 , 则每一组都可能取球为空 c12 2=66
4、 因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数,只要求出前 显然a+b<=9 ,且a不为0 组始终不能取空,若多添加第
1-1-1-1-1-1-1-1-1 -
10个空时,设取到该板时第二组取空,即
2位有几种情况即可,设前两位为 ab -
。1代表9个1,-代表10个空位 b=0,所以一共有 G:=45
我们可以在这9个空位中插入2个板,分成3组,第一组取到 a个1,第二组取到b个1,但此时第二 5、 类似的,某数的前三位为 abc,a+b+c<=9,a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板,分成4组,第一组取a个1,第二组取b个1,第三组取c个1,由于第二,第 三组都不能取到空,所以添加
2块板
设取到第10个板时,第二组取空,即b=0;取到第11个板时,第三组取空,即c=0。所以一共有
C1'=165
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用(1)
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