第2课时 正弦定理
[A 基础达标]
1．在△ABC中，一定成立的式子是( ) A．asin A＝bsin B C．asin B＝bsin A
B．acos A＝bcos B D．acos B＝bcos A
解析：选C.由正弦定理＝＝，得asin B＝bsin A.
sin Asin Bsin C2．在△ABC中，若3a＝2bsin A，则B＝( ) A.C.π 3
π2π或 33
B.D.π
6π5π或 66
abc解析：选C.由正弦定理，得3sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－3)＝0.因为0 3π2π，所以B＝或. 233 3．(2019·济南检测)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有( ) A．两解 C．无解 B．一解 D．无穷多解 解析：选B.由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解． a＋b＋c4．在△ABC中，若c＝3，C＝60°，则＝( ) sin A＋sin B＋sin CA．6 C．2 B．23 D．3 a＋b＋cc3 解析：选C.利用正弦定理的推论，得＝＝＝2. sin A＋sin B＋sin Csin Csin 60° 5．在△ABC中，已知atan B＝btan A，则△ABC的形状是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sinAtan 2 2 2 - 1 - sinAsin Bsin AsinBB＝sinBtan A，则＝. cos Bcos A2 22 因为sin Asin B≠0，所以 sin Asin B＝， cos Bcos A所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π 所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形． 2 1 6．在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为________． 2132 解析：由cos A＝－，得sin A＝1－cosA＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正 22弦定理，有2R＝＝23，即△ABC的外接圆的半径为3. sin A答案：3 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝＝________． 解析：因为cos A＝ 63 ，所以sin A＝，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos 33 6 ，则b3 aA＝ 22ba，又＝，所以b＝26. 3sin Bsin A答案：26 π 8．在△ABC中，若B＝，b＝2a，则C＝________． 4 aba2a2a解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin Asin Asin Bsin Aπ2 sin 42 1π5 ＝，所以A＝或π. 266 π因为b＝2a＞a，所以B＞A，即A＜， 4 πππ7 所以A＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝π. 664127 答案：π 12 9．(2019·浙江温州月考)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝2，求a，b及cos B. 解：因为A＝30°，C＝45°，c＝2， - 2 - 所以由正弦定理，得a＝ csin A2sin 30° ＝＝1. sin Csin 45° 又B＝180°－(30°＋45°)＝105°， 所以cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝ 2－6 ， 4 csin B2sin 105°b＝＝＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°) sin Csin 45° ＝ 6＋2 . 2 10．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长． 33BC解：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝， sin 60°sin 45°可得BC＝116， 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB ＝116×tan 30°＝112. [B 能力提升] 11．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为A．60° C．90° B．75° D．115° 3＋1 ，则三角形的最大角为( ) 2 解析：选B.不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝ acsin A3＋1 ＝，即sin C2 sin A3＋1 ＝，整理，得(3－3)sin A＝(3＋3)cos A．所以tan A＝2＋3， sin（120°－A）2所以A＝75°，故选B. 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋3bsin C－a－c＝0，则角B＝________． 解析：由正弦定理知， sin Bcos C＋3sin Bsin C－sin A－sin C＝0.(*) 因为sin A＝sin(B＋C) - 3 -
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理(第2课时)正弦定理应用案
