第七章 定积分的应用
一、本章提要
1. 基本概念
微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法
(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量，
(7) 求连续函数f(x)在?a,b?区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心．
二、要点解析
问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？
解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：
Q与变量x和x的变化区间?a,b?以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；Q在?a,b?（1）（2）
上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下：
（1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间?a,b?；
（2）取近似找微分：在?a,b?内任取一代表性区间?x,x?dx?，当dx很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式dQ=f(x)dx≈?Q（?Q为量Q在小区间?x,x?dx?上所分布的部分量的近似值）；
（3）对微元进行积分得 Q=?dQ??f(x)dx．
aabb 下面举例说明．
例1 用定积分求半径为R的圆的面积．
解一 选取如图所示的坐标系，取x为积分变量，其变化区间为??R,R?，分割区间
y-RORx??R,R?成若干个小区间，其代表性小区间?x,x?dx?所对应的面积微元
dA?(R2?x2?(?R2?x2))dx?2R2?x2dx，
于是
A??dA?2??RRR?RR2?x2dx=πR2．
解二 选取如图所示的坐标系，
d?O?Rr 取? 为积分变量，其变化区间为?0,2π?．分割区间?0,2π?成若干个小区间，其代表性小区 间??,??d??所对应的面积微元dA?12Rd?，于是 22π
A??dA??02π0121Rd??R2?2π?πR2． 22
解三 选取r为积分变量， 其变化区间为?0,R?，如图，分割?0,R?成若干个小区间，
其代表性小区间?r,r?dr?所对应的面积微元dA?2πrdr，于是
A??R0r22πrdr?2π?2R?πR2．
0O
rRr?drr b1问题2 如何理解连续函数f(x) 在闭区间?a,b?上的平均值u?f(x)dx是有限
b?a?a个数的算术平均值的推广．
解析 首先，我们知道几个数 y1,y2,???,yn的算术平均值为
1ny?(y1?y2?????yn)/n??yk，
nk?1对于函数f(x)，我们把区间?a,b? n等分，设分点为a =x0?x1?????xn?b．区间的长度?xi?b?a(i?1,2,???,n)，各分点xi所对应的函数值为f(x1),f(x2),???,f(xn)，n1n其算术平均值 ?f(xi)可近似地表达函数f(x)在?a,b?上取得一切值的平均值．显然，
ni?1n越大，分点越多，这个平均值就越接近函数f(x)在?a,b?上取得一切值的平均值． 因此，
称极限
1n lim?f(xi)
n??ni?1为函数f(x)在闭区间?a,b?上的平均值，记为y?a,b?．
下面用定积分表示函数f(x)在?a,b?上的平均值y?a,b?．在定积分定义中，若取
?i?xi，?xi?
b?a，则 n?b af(x)dx?lim?f(?i)?xi?lim?f(xi)??0i?1n??i?1nnb?a， n
高等数学第七章定积分的应用
