1．随着计算机技术的迅速发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8100元的电脑12年后的价格为( ) A．2400元 B．2700元 C．3000元 D．3600
2
解析：选A.由题意可知，该问题可以看作以首项为8100，公比为的等比数列{an}，其中an
3
28
表示n个4年后电脑的价格，此时an＝8100×()n＝8100×＝2400(元)，故选A.
327
2．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为( ) A．p B．12p
12
C．(1＋p) D．(1＋p)12－1
解析：选D.设1月份产值为1，年平均增长率为x，则一年后产值为1×(1＋x)＝1＋x，∵该工厂月平均增长率为p，∴经过一年(12个月)后的产值为：1×(1＋p)12，所以1＋x＝(1＋p)12，∴x＝(1＋p)12－1，故选D.
3．据某校环保小组调查，某区垃圾的年增长率为b,2011年的垃圾量为a吨，由此预测该区下一年的垃圾量为________吨，2016年的垃圾量为________吨．
23,
解析：由题意可得：2012年垃圾量为a(1＋b)，2013年为a(1＋b)，2014年为a(1＋b)2015年为a(1＋b)4,2016年为a(1＋b)5.
5
答案：a(1＋b) a(1＋b)
4．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
解析：设底层所点灯的盏数为a7，
111
则a6＝a7，a5＝()2a7，?，a1＝()6a7.
222
11216
∴S7＝a7＋a7＋()×a7＋?＋()×a7
2221
a7－??7×a7
2
＝＝381，
11－
2
∴a7＝192，故填192. 答案：192
[A级 基础达标]
1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面
1
包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较少的两份之和，则最7
小的一份的量为( ) 510A. B. 33511C. D. 66
解析：选A.设公差d(d>0)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d，则7(20－2d＋20
55555
－d)＝20＋(20＋d)＋(20＋2d)，解得d＝，最小的一份为20－＝.故选A.
633
2．(2012·淮北调研)某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，按复利计算，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )
a?1＋γ?aγ?1＋γ?5A.万元 B.万元 55?1＋γ?－1?1＋γ?－1aγ?1＋γ?5aγC.万元 D.45万元 ?1＋γ?－1?1＋γ?
n
aγ?1＋γ?
解析：选B.若n年还清，则每年偿还万元，是复利分期付款的数学模型．
?1＋γ?n－1
3．预测人口的变化趋势有多种方法．“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k＞－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1＜k＜0，那么在这期间人口数( ) A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变
解析：选B.当－1 解析：设各年末的本利和为{an}，由an＝a(1＋nr)， 其中a＝1000，r＝0.72%， 知a5＝1000×(1＋5×0.72%)＝1036(元)． 答案：1036 5．(2012·亳州质检)某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n年后这辆车的价值为an，则an＝______，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到______元． 解析：n年后这辆车的价值构成等比数列{an}，其中，a1＝100000×(1－10%)，q＝1－10%； n ∴an＝100000×(1－10%)， a4＝100000×(1－10%)4＝65610(元)． n 答案：100000×(1－10%) 65610 6．某车间的劳动生产率平均每月比上个月提高2.4%，那么大约需经过多少个月，劳动生产率可以翻一翻？(已知lg2≈0.301，结果精确到个位) 解：设经过n个月生产率翻一翻，设原先月生产率为a， 则a(1＋2.4%)n＝2a，即1.024n＝2. lg2lg2lg2lg20.301 ∴n＝log1.0242＝＝＝≈≈30.1≈30. 10＝ lg1.024－3＋lg1024－3＋lg2－3＋10lg2－3＋3.01 即大约经过30个月，劳动生产率可以翻一翻． [B级 能力提升] 7．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5?，每月复利一次，则a，b满足( ) a?1＋5??12a A．b＝ B．b＝ 1212a?1＋5??a?1＋5??12a C．b＝ D. 121212 21112 解析：选D.∵b(1＋1.005＋1.005＋?＋1.005)＝a(1＋1.005)， 12 ∴12b a?1＋5??12 ∴b<，显然12b>a， 12 12 a?1＋5??a 即 8．一同学在电脑中按a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)编制一个程序生成若干个实心圆(an表示第n次生成的实心圆的个数)并在每次生成后插入一个空心圆，当某次生成的实心圆个数达到2016时终止，则此时空心圆个数为( ) A．445 B．64 C．63 D．62 解析：选D.由题意可得： a1＝1， a2－a1＝2， a3－a2＝3， a4－a3＝4， ? an－an－1＝n， n?n＋1?n?n＋1? 将上式相加，可得an＝1＋2＋3＋?＋n＝，令＝2016，解得n＝63，由题意 22 可得，空心圆为62个，故选D. 9．“嫦娥奔月，举国欢庆”据科学计算，运载“天宫一号”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒． 解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，?，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d n?n－1? ＝2的等差数列，由求和公式可得：na1＋×d＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n 2 ＝15. 答案：15 10．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新传染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得以控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日为止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新增者人数． 解：由题意知，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列{an}，且a1＝20，d1＝50,11月n日新感染者人数an＝50n－30；从n＋1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列{bn}，且b1＝50n－60，d2＝－30，则bn＝(50n－60)＋(n－1)×(－30)＝－30n＋50n－30，第30日的感染者人数为b30－n＝(50n－60)＋(29－n)×(－30)＝80n－930，所以从11月1日到n日，感染者总人数为： ?a1＋an?×nSn＝ 2 ?20＋50n－30?×n2＝＝25n－5n， 2 从11月n＋1日到11月30日，感染者总人数为： ?b1＋b30－n?×?30－n? T30－n＝ 2 [?50n－60?＋?80n－930?]×?30－n?＝ 2 ＝－65n2＋2445n－14850，因此11月份感染者总人数为： Sn＋T30－n＝(25n2－5n)＋(－65n2＋2445n－14850) 2 ＝－40n＋2440n－14850， 则有－40n2＋2440n－14850＝8670， 2 整理可得，n－61n＋588＝0. 解得n＝12或n＝49(舍去)，并且a12＝50×12－30＝570. 即11月12日，该市感染此病毒的新增人数最多，新增人数为570人． 11．(创新题)某企业2011年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业生产能力逐年
北师大版数学必修5：第一章§4知能演练轻松闯关
