第十六章 量子力学基础
16-1试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。
答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数??r,t?来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别：
（1）描述微观粒子的波函数??r,t?并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典物理中的波是不同的。
2（2）微观粒子的波函数??r,t?的模的平方：??r,t?表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。
（3）在经典物理学中，波函数??r,t?和A??r,t?(A是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点ri和rj下面的关系必定成立：
??ri,t???rj,t?22?A??ri,t?A??rj,t?22 所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。这与经典物理中的波也是不同的。
16-2概述概率波波函数的物理意义。
2答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数??r,t?的模的平方：??r,t?表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。
波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含一个任意的常数因子（即：??r,t?与A??r,t?描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数
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?1?r,t?、?2?r,t?都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加也是这个系统的一个可能
的量子态。（5）波函数必定是复数。
16-3 如果粒子的波函数为??x,y,z?，试求出在x?x?dx、y?y?dy、z?z?dz 范围内找到粒子的概率的表达式。
2解：在题意所述范围内找到粒子的概率为：??x,y,z?dxdydz
16-4 如果粒子的波函数为??r,?,??，试求：(1)在r?r?dr的球壳内找到粒子的概率；(2)在??,?? 方向上、在d??sin?d?d?立体角内找到粒子的概率。
解(1)在r?r?dr的球壳内找到粒子的概率：????0???2?0??r,?,??d?sin?d??r2dr
??2?(2)在??,??方向上、在d??sin?d?d?立体角内找到粒子的概率为：
??0???222??r,?,??r2sin?d?d?dr?????r,?,??r2dr?sin?d?d??????r,?,??r2dr?d??0??0??????????16-5 试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程：(1)自由粒子；(2)在有心力场中运动的粒子。
22??2p2?2?2?2?????解：(1)自由粒子的动能为 ，写成算符为：???
2m2m2m??x2?y2?z2????x,y,z??E??x,y,z? 因为在这种情况下，粒子的动能就是粒子的总能量E，所以定态薛定谔方程为：H2即：?2m2?2??x,y,z??E??x,y,z?
或：???x,y,z??2mE2??x,y,z??0
p2p2A?U?r??? (2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为：E?2m2mr 2
???哈密顿量应写为：H22m?2?A r???x,y,z??E??x,y,z? 式中A是与有心力场有关的常量。将上式代入定态哈密顿方程的一般形式：H2?A?中，得：???2????x,y,z??E??x,y,z?
r??2m整理得：???x,y,z??22m?A?E????x,y,z??0 2?r??-10
16-6 如果可以将氢原子看作无限深势阱，电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为10m，试求电子处于基态和第一激发态的能量。
解：根据无限深势阱的能量表达式，可以将电子的能级写为：En?n2?222mea2,n?1,2,3,
将有关数据代入上式，得：En?37.6n2eV
?? 基态：n?1 E1?37.6eV
第一激发态：n?2 E1?150eV
16-7 如果可以将氘核看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为10m，试求质子和中子处于基态的能量。
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解：将质子和中子的质量(mp?1.673?10能量表达式En?n2?27kg、mn?1.675?10?27kg)以及有关数据代入无限深势阱的
?2222ma,n?1,2,3,，可以得到：
质子基态的能量为：E1?12?2222mpa?2.05MeV；中子基态的能量为：E1?12?2222mna?2.04MeV
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16-8 在宽度为a的一维无限深势阱中，当粒子分别处于状态 ?1和?2 时，发现粒子的概率最大的位置在何处？
解：处于无限深势阱中粒子的本征波函数可以表示为：?n?x??2n?xsinaan?1,2,3,
当粒子处于状态：?1?x??22?x22?xsin 时，发现粒子的概率密度为：?1?x??sin aaaa对上式求极值：2dd?2?x?2?xa?1?x???sin2??0 解得：sin?0 (1)由此得：x?m (2) dxdx?aa?a2在势阱范围内、并使式(1)得到满足的m值只能是0、1、2.因为当为0和1时，x = 0和a，波函数及其概率密度都等于零，对应于概率密度极小值。所以能满足概率密度极大值的只能是m?1，此时x?a。 2当粒子处于状态: ?2?x??222?x222?xsin 时，发现粒子的概率密度为: ?2?x??sin. aaaa对上式求极值:
2dd?22?x?4?xa?2?x???sin2?0 解得： 故得： sin?0x?mdxdx?aa?a4?在势阱范围内、符合概率密度极大值条件的m是1和3，即：x?a3a和x? 4415-9试比较一维线性谐振子与经典的弹簧振子的区别
答：（1）按照经典力学的结论，一维谐振子的能量如式E?121kA???2A2所表示，如果在势能曲线22的纵轴上取与振子能量相应的E点，过E点作x轴的平行线，交势能曲线上M、N两点，如图所示。M和N所对应的横坐标的绝对值就是振子的最大位移，振子只能处于x?A的范围内，x?Ax的区域则是经典禁区，振子是不可能进入这个区域的。而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典禁区，也就是说，在所谓“经典禁区”内发现粒
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子的概率不等于零，不存在什么禁区。
（2）按经典力学的规律，在平衡位置(x = 0)振子的速度为最大，停留的时间为最短，而在最大位移处(x = ±A)，振子的速度为零，停留的时间最长。将这一规律应用于微观粒子，自然会得出在平衡位置粒子出现的概率最小，而在最大位移处粒子出现的概率最大。
（3）经典谐振子零点的能量为零。而量子状态下的谐振子的零点能为：E0?1? 2（4）一维揩振子的能量只能取一系列分立值：En??n???1??? 而经典的谐振子的能量是连续的。 2?16-10 求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。
1??22解：一维线性谐振子波函数的一般形式为：?n????Ane确定，在此与我们的题目无关。变量?由式：???x?Hn??? 式中An是常量，可用归一化条件
x 表示，?是谐振子的质量。
??在第一激发态，n?1，波函数为：?1????2A1?e1??22
对概率密度取极值：
2dd?1????2A1?ed?d?21??22?0 得到符合极大值条件的解为：???1,
即得：x????
16-11 试求处于基态的氢原子的平均半径，并与玻尔半径作比较。
解：处于基态的氢原子波函数为：?100?r??1?a3e?ra
式中a就是玻尔半径a0。半径r的平均值可以表示为：
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r??2?0??0??0?100rsin?d?d?dr??23?0r43?2a46a43redr?3?a0 a3a162这表示，基态氢原子的平均半径ｒ等于玻尔半径的3/2倍，这是由于电子概率的径向分布的极大值正好处于玻尔半径a0处，并且在峰值两侧分布情况是不对称的，如图所示。
16-12 试证明处于基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。
解：处于基态的氢原子的势能可以表示为：U??e24??0r
求其平均值：
???002???0?1002???e2?2e2r??2aredr ???rsin?d?d?dr???0??3?4??r??a0?0???mee41e2mee2??????224??0a04??04??0?4??0?e22?mee4?2???2?4???20????2E1 2??其中：E1??mee42?4??0?22氢原子基态能量。
所以，基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。
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第十六章 量子力学基础
