理工大泛函分析复习题.docx

-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明

l + d(3)

也是X上的距离。

1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间，丫为B空间)

2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为

p(x，y

,求证S是一个完备的距离空间。

3、 Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、 附加题

开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。

Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定 义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足:

⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件);

(2)||/|| = UII0(保范条件),

其中表示人在X。上的范数。

闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是XTY的闭线性算子，并且D(T)是 闭的，则卩是连续的。

共鸣定理(毘9)

设X是B空间，丫是￡空间，如果

Wu/(X,Y),使得sup||Ar||

AeW

|A||

五、(10 分)在C[0,1]上定义内积：厶[0,1],(x)g(x)必

(1) 如果 /(兀)=疋 一X + ；,求 11/11；

6

9 1

(2) 证明任?一函数g(x) = a + bx都正交于/(x) = x -X + — o

2六、(10分)设M为Hilbert空间X的闭子空间，证明对每个xw X必存在唯一的xoeM,

x-x0 = inf x-y

yeM

七、 （15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\\且求||/||。 八、 （15分）简答题

1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异;

2. 泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3. H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。

一、 在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全

体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。

设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0.

二、 在R中赋予距离p（x,y） =| arctanx-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什 么？ 设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从

Q0,1]TQ0,1]的算子再求||门

四论述题：

1、 证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、 论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。

3、 证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。

ie[a,b]

设H是内积空间，￡，兀儿则当X\儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积

关于两变元连续。

10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴ + 7V,

（2）

fit （】）任取f�E;及则 （T: + Tt） V（r）

rs）?> f（T^） + /（r?z >

-r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ?

山人工的任尴性.得 ：

《珀 + T护= +

<2）由共馳算子性质1?■即得:工

7. i殳T足賦范空何E到赋范空间上的线性右界算 子，如果存在正数乩 使符对任何乂

�戌

|Tz|>6|x|

证明T仔在逆算子T J 时仪幷H\1是仔界的?

a対f?线竹奔十儿？？氏UEE)划由关系式 ”工14“阖为彩=\?因此T起材到&上的1-1映谢。所U 厂>“任。任取必疗住唯一的心:,使

Tx^y

令则易证足吊到￡的找性算子?由于 \\Tx\\>b\\x\\.所以

IT ?!/PkKj

因此T ' ;&閃到E的线性仆界算子?沫

4?设M.是区间［a, &］上有界瓯数的全体，％中的 线性运祥与C［a』］中的相同，

在M。上定义范敷

l?l\［?(0|

?<(<*

证明时。是巴拿般空间.

証 M证耐。关于|?|成为賦范空间?现证M。是完备的.

设仗■｝为M.中的基本列，那么对v^>O.^a：N >0. g n>N时，有

?up I?4O-xw(t)|

???対”堆［a#h右

JxXt)-xnl(O|

(n, m >N) ??????(▲)

P!此{况化”为一致墓本列?从而存在xW.使

一致 .. x,(O— x(O (n— oo)

'

显然x� *V0.在(▲》式中，固定\，令加一oo,便仔 1^(0 - x(i)|*5? (n^N)

?：

即 “

|观?兀|= sup ?(t)l ? c

…

? ■ t

?■?：?

M。为巴拿赫空间.※

7.证明：设｛el9e2,...,ej是Hilbert空间中的一个标准正交集，令

M =里初｛勺,勺,???，￡”｝，如果P是H到M上的正交投影算子，则办w H,有

Px = ^{x,ek)ek o

k=\\

3?设M是Hilbert空间H的闭线性子空间，仁H ,且f.eM是满足 ||/z-/o|| =

rf(7z,M) = inf||x-/z||的唯一元素,那么,h-fQ 丄M。

4设X是内积空间,｛en：nEN｝是X中的标准正交系，则对任意的xeX#成立 Bessel

不等式：

7.证明：设｛勺心,…,—｝是M =也劝｛勺有

￡|v心“ ＞『外『?

n=l

Hilbert空间中的一个标准正交集，令

,02，???,匕｝,如果P是H到M上的正交投影算子，则川 Px = ^(x9ek)ekO

k=l

0兀w H,