第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[基础题组练]
1．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[－2，2] C．[－2－1，2－1]
2
2
2
2
B．[－22，22] D．[－22－1，22－1]
解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)＋(y－1)＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到|2－1＋m||m＋1||m＋1|
直线的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－22
222－1≤m≤22－1，故选D.
2．圆(x－3)＋(y－3)＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
2
2
|9＋12－11|
解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆
5的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
3．(2019·成都模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x＋y＝1→→
相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA·OB的值是( )
1A．－
24C．－
3
1B. 2D．0
2
2
→→
解析：选A.在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝3，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB1
＝1×1×cos 120°＝－.
2
4．已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝( )
A．－6 C．－5
B．±6 D．±5
2
2
解析：选D.记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝2可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是
- 1 -
|2×1－2＋b|
＝1，解得b＝±5. 5
5．(2019·四川南充模拟)已知圆O1的方程为x＋(y＋1)＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )
A．(x－2)＋(y－1)＝6 B．(x－2)＋(y－1)＝22
C．(x－2)＋(y－1)＝6或(x－2)＋(y－1)＝22 D．(x－2)＋(y－1)＝36或(x－2)＋(y－1)＝32
解析：选C.设圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝r(r>0)．因为圆O1的方程为x＋(y＋1)
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
|r－14|2
＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r－10＝0，圆心O1到直线AB的距离d＝，由d42（r－14）222
＋2＝6，得＝2，所以r－14＝±8，r＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)＋(y－
32
2
2
2
1)＝6或(x－2)＋(y－1)＝22.
6．如果圆C：x＋y－2ax－2ay＋2a－4＝0与圆O：x＋y＝4总相交，那么实数a的取值范围是________．
解析：圆C的标准方程为(x－a)＋(y－a)＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2. 依题意得0 7．过点A(3，1)的直线l与圆x＋y＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x＝3，此时直线l与圆相离，没有公共点，不符合题意． (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 2 2 222 2 2 2 2 2 2 222 y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0. 因为直线l和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离小于或等于半径，则 |－ 3k＋1| ≤1，计算得0≤k≤3， 2 k＋1 ?π?所以直线l的倾斜角的取值范围是?0，?. 3???π?答案：?0，? 3?? 8．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x＋y－2y－7＝0相交于A， - 2 - 2 2 B两点，则|AB|的最小值为________． 解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1，2)，由已知可得圆C的标准方程为x＋(y－1)＝8，可知圆心C(0，1)，半径r＝22，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝（1－0）＋（2－1）＝2，故|AB|min＝2（22）－（2）＝26. 答案：26 9．圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程； (2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程． 解：(1)因为圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4， 所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2. 设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2. 又|O1O2|＝（2－0）＋（1＋1）＝22， 所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2. 所以圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝12－82. (2)设圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝r2， 又圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4， 相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r2－8＝0. 设线段AB的中点为H， 因为r1＝2，所以|O1H|＝r1－|AH|＝2. |4×0＋4×（－1）＋r2－8||r2－12| 又|O1H|＝＝， 22 4＋442|r2－12|22 所以＝2，解得r2＝4或r2＝20. 42 所以圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝4或(x－2)＋(y－1)＝20. 10．已知抛物线C：y＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． (1)证明：坐标原点O在圆M上； (2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程． 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. ??x＝my＋2，2由?2可得y－2my－4＝0，则y1y2＝－4. ?y＝2x? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 （y1y2）又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4. 224 - 3 - y21y22 2 y1y2－4 因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆Mx1x24 上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m＋4. 故圆心M的坐标为(m＋2，m)，圆M的半径 2 2 r＝（m2＋2）2＋m2. →→ 由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4. 12 所以2m－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 2 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x－3)＋(y－1)＝10. 1?1?9 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为?，－?，圆M的半径为 2?2?49?2?1?28585?，圆M的方程为?x－?＋?y＋?＝. 4?4??2?16 [综合题组练] 1．(创新型)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)＋(y＋a)＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为( ) 1 A.或－1 7C．1或－1 B．－1 D．1 2， 2 2 2 2 2 解析：选C.由题意得圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为|a－a－1|2所以＝， 2 21＋a解得a＝±1，故选C. 2．(2019·合肥市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为( ) A.23 3 B.3 D．43 - 4 - C．23 1＋3 解析：选D.由圆C过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为＝2， 2又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2， 则圆心的横坐标x＝即圆心为(3，2)， 所以圆C的方程为(x－3)＋(y－2)＝4. 因为k>0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切， |3k＋2| 可得2＝， k2＋1 即k－43k＝0，解得k＝43(k＝0舍去)，故选D. 3．(应用型)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x＋y＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________． 解析：由x＋y＋2x－4y－4＝0得(x＋1)＋(y－2)＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，2)，半径为3.由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线 2 2 2 22 2 2 2 2 3－122 2－（）＝3， 2 x－y＋a＝0的距离为6. 答案：0或6 32|－1－2＋a|32 ，由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝0或a＝222 4．若⊙O：x＋y＝5与⊙O1：(x－m)＋y＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________． 解析：因为两圆在点A处的切线互相垂直，所以OA⊥O1A， 所以|OO1|＝（5）＋（25）＝5， 故m＝±5，连接AB，交x轴于点C，由对称性知|AB|＝2|AC|＝2×25×答案：4 5．(2019·河北武邑中学4月模拟)已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2. (1)求⊙H的方程； (2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围． 解：(1)设⊙H的方程为(x－m)＋(y－n)＝r(r>0)， 因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝ 2 2 2 2 2 2222 5 ＝4. 5 - 5 -
2020高考数学大一轮复习第九章平面解析几何4第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系练习理(含解析)
