2．2 基本不等式 第1课时 基本不等式
学习目标 1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值．
知识点 基本不等式
a＋b1．如果a>0，b>0，ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
2a＋b其中叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．
22．变形：ab≤?
a＋b?2
?2?，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2ab，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.( √ ) 2
2．n∈N*时，n＋>22.( √ )
n1
3．x≠0时，x＋≥2.( × )
x
1
4．若a>0，则a3＋2的最小值为2a.( × )
a
一、利用基本不等式比较大小
例1 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( ) a＋b
A．x＝
2a＋bC．x>
2
考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小
a＋b
B．x≤
2a＋b
D．x≥
2
答案 B
解析 第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)． 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2. 依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a>0，b>0，x>0， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤?
?1＋a?＋?1＋b??2
2??，
2＋a＋ba＋ba＋b
∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.
222反思感悟 基本不等式
a＋b
≥ab一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利2
用这个桥梁化和为积或者化积为和．
跟踪训练1 若0
∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择． 而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， ∵0 即a2＋b2 12 例2 (1)当x>0时，求＋4x的最小值； x12 (2)当x<0时，求＋4x的最大值； x(3)当x>1时，求2x＋ 8 的最小值； x－1 a (4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． x12 解 (1)∵x>0，∴>0,4x>0. x12 ∴＋4x≥2x 12·4x＝83. x 12 当且仅当＝4x，即x＝3时取最小值83， x 12 ∴当x>0时，＋4x的最小值为83. x(2)∵x<0，∴－x>0. 则 12 ＋(－4x)≥2－x 12·?－4x?＝83， －x 12 当且仅当＝－4x时，即x＝－3时取等号． －x12 ∴＋4x≤－83. x 12 ∴当x<0时，＋4x的最大值为－83. x48 (3)2x＋＝2??x－1?＋x－1?＋2， ?x－1?∵x>1，∴x－1>0， ∴2x＋ 8 ≥2×24＋2＝10， x－1 4 当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号． x－1a (4)4x＋≥2x a4x·＝4a， x a 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， x∴a＝36. 反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练2 已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36 答案 B 解析 因为x>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋?因此当且仅当x＝y＝4时， (1＋x)·(1＋y)取最大值25. 三、用基本不等式证明不等式 例3 已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－ab－bc－ac≥0. 证明 ∵a，b，c都是正数， x＋y?2 2 ?2?＝9＋4＝25， ∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，a＋c≥2ac， ∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(ab＋bc＋ac)， ∴a＋b＋c≥ab＋bc＋ac， 即a＋b＋c－ab－bc－ac≥0. 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 1 跟踪训练3 若实数a<0，求证：a＋≤－2，并指出等号成立的条件． a证明 根据题意，a<0，则－a>0， 1?－1??， 左式＝a＋＝－??－a?＋??a??a1－?≥2又由(－a)＋??a?1 则有a＋≤－2， a 当且仅当a＝－1时，等号成立． 1 故a＋≤－2，当且仅当a＝－1时，等号成立． a 1 －?＝2， ?－a?×??a? 1．若0 A．a>>ab>b 2a＋bC．b>>ab>a 2考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 C a＋b 解析 ∵0 2又∵b>a>0，∴ab>a2， a＋b B．b>ab>>a 2a＋b D．b>a>>ab 2 a＋b ∴ab>a.故b>>ab>a. 22．下列不等式正确的是( ) 1 A．a＋≥2 a1 C．a2＋2≥2 a答案 C 1 解析 ∵a2>0，故a2＋2≥2成立． a3．下列等式中最小值为4的是( ) 4 A．y＝x＋ x1 C．y＝4t＋(t>0) t答案 C 1 解析 A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋≥2 t1 当且仅当t＝时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C. 24．下列不等式中，正确的是( ) 4 A．a＋≥4 aC.ab≥ a＋b 2 B．a2＋b2≥4ab 3 D．x2＋2≥23 x 14t·＝4，t 1 B．y＝2t＋ t1 D．y＝t＋ t 1 －?≤－2 B．(－a)＋??a?1 －?2≤－2 D．(－a)2＋??a?答案 D 4 解析 a<0，则a＋≥4不成立，故A错； aa＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错； a＝4，b＝16，则ab< a＋b ，故C错； 2 由基本不等式可知D项正确． ?x＋10??x＋2? 5．已知x>－1，则的最小值为________． x＋1答案 16 解析 ?x＋10??x＋2??x＋1＋9??x＋1＋1? ＝ x＋1x＋1 ?x＋1?2＋10?x＋1?＋9 ＝ x＋1
新人教版高中数学必修第一册全套课时作业第二章 2.2 第1课时
