→→
18.如图4-3-1，已知O为坐标原点，向量OA＝(3cos x,3sin x)，OB＝(3cos x，sin x)，→
OC＝(3，0)，x∈?0，?.
2
??
π?
?
图4-3-1
→→→
(1)求证：(OA－OB)⊥OC；
(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值． π
【答案】(2) x＝
6
→→
【解析】 (1)证明：OA－OB＝(0,2sin x)， →→→
∴(OA－OB)·OC＝0×3＋2sin x×0＝0， →→→∴(OA－OB)⊥OC.
(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC， ∴(2sin x)＝(3cos x－3)＋sinx， 整理得2cosx－3cos x＝0， 解得cos x＝0，或cos x＝
3. 2
22
2
2
3π?π?∵x∈?0，?，∴cos x＝，x＝.
2?26?
3x?x??3x?x?ππ?19.已知向量a＝?cos，sin?，b＝?cos，－sin?，且x∈?－，?.
22?2???2?34?(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 【答案】(1) a·b ＝cos 2x；|a＋b|＝2cos x.
2
3
(2) 最小值－；最大值－1.
2
x
20.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝?
2??2
，－?，n＝(sin x，cos x)，
2??2
x∈?0，?.
2
??
π??
(1)若m⊥n，求tan x的值； π
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
3【答案】(1) tan x＝1. 5π
(2) x＝. 12
【解析】：(1)因为m＝?
2??2
，－?，
2??2
n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即
22
sin x－cos x＝0， 22
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
π1
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
32即
221?π?1sin x－cos x＝，所以sin?x－?＝，
4?2222?
ππππ
因为0＜x＜，所以－＜x－＜，
2444ππ5π
所以x－＝，即x＝. 4612
21.已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R． (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
【答案】(1) ?kπ－
?
?
ππ，kπ＋??(k∈Z)． 63?
(2) b＝3，c＝2．
【解析】：(1)f(x)＝a·b＝2cosx－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos?2x＋
2
?
?
π??， 3?
π
≤2kπ＋π(k∈Z)， 3
令2kπ≤2x＋
ππ
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
63
ππ??所以f(x)的单调递减区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．
63??
→→→→
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA·BC＝cCB·CA. (1)求角B的大小；
→→
(2)若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值． π
【答案】(1) B＝.
432＋3
(2)
2
→→→
(2)因为|BA－BC|＝6，所以|CA|＝6，
即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a＋c－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)， 即ac≤3(2＋2)，
2
2
故△ABC的面积
S＝acsin B≤12
3
2＋12
， 32＋3
. 2
即△ABC的面积的最大值为
2024年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题16 平面向量的数量积及应用 理
