3
A．－
23C． 2【答案】A
B．0 D．3
3?1??1??1?【解析】：依题意有a·b＋b·c＋c·a＝?－?＋?－?＋?－?＝－. 2?2??2??2?
→→
4.线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则AD·BE＝
( )
333333A．－ B． C．－ D．
2222【答案】A
→→→→→→
【解析】：由等边三角形的性质得|AD|＝|BE|＝3，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝3→→→→?1?|AD||BE|cos〈AD，BE〉＝3×3×?－?＝－，故选A.
2?2?
→→→
5．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为 ( )
32A．－
232C．
2【答案】C
B．－35
D．35
6．若向量a＝(2，－1)，b＝(3－x,2)，c＝(4，x)满足(6a－b)·c＝8，则x等于
( )
A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D
【解析】：因为6a－b＝(9＋x，－8)，所以(6a－b)·c＝36＋4x－8x＝8， 解得x＝7，故选D.
→→7．已知O为坐标原点，向量OA＝(3sin α，cos α)，OB＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
α∈?
→→?3π，2π?，
且OA⊥OB，则tan α的值为 ( ) ?
?2?
4A．－
34C． 5【答案】A
4B．－
53D． 4
【解析】：由题意知6sinα＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sinα＋5sin αcos
22
α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈?
?3π，2π?，
?
?2?
4
则tan α<0，解得tan α＝－，故选A．
38.设向量
a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝
( )
A．2 C．3 【答案】B
【解析】：由|a＋b|＝4两边平方可得|a|＋|b|＝16－2a·b＝14，则|a－b|＝|a－b|＝|a|－2a·b＋|b|＝12＝23，
故选B．
9.已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为 ( ) A.6 B．3 C.2 D．1 【答案】6
2
2
2
2
2
B．23 D．25
→→2
10．已知两点A(－1,1)，B(3,5)，点C在曲线y＝2x上运动，则AB·AC的最小值为
( )
A．2 C．－2 【答案】D
→→→→222
【解析】：设C(x0,2x0)，因为AB＝(4,4)，AC＝(x0＋1,2x0－1)，所以AB·AC＝8x0＋4x0
1
B． 21D．－ 2
1?11?＝8?x0＋?－≥－， 4?22?
1→→
即AB·AC的最小值为－，故选D.
2
→??→ABAC??→→
11.O是平面上一点，动点P满足OP＝OA＋λ?→＋→?，λ∈[0，＋∞)，则动点P的
?|AB||AC|?轨( )
A．内心 C．垂心 【答案】A
B．外心 D．重心
迹
一
定
通
过
△ABC2
的
?→??→ABAC?????＝1， 【解析】∵＝?|→??→??AB|??|AC|?
→??→ABAC??＋∴λ表示与∠A的平分线共线的向量． →??|→
?AB||AC|?→??→ABAC?→→?＋又OP＝OA＋λ， →??|→
?AB||AC|?→??→ABAC?→→
＋∴OP－OA＝λ?
→??|→
?AB||AC|?→??→ABAC?→?＋即AP＝λ， →??|→
?AB||AC|?
∴P一定在∠A的平分线上，即P点一定通过△ABC的内心．
12．已知a，b均为单位向量，且a·b＝0．若|c－4a|＋|c－3b|＝5，则|c＋a|的取值
范围是 ( )
A．[3，10 ] C．[3,4] 【答案】B
【解析】： ∵a，b均为单位向量，且a·b＝0，
B．[3,5] D．[10，5]
∴设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
二、 填空题：
13.设向量a与b的夹角为θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，则cos θ＝________. 310
【答案】
10
【解析】：由题意得向量b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以cos θ＝3×2＋－1×0310
＝
1010×2
14．若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．
1
【答案】
4
【解析】：由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则可得a·b1a·b1＝，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝＝. 2|a|·|b|4
→→→→→→→→→15.已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________
7【答案】
12
a·b＝
|a||b|
3?→?1→
16．已知向量a＝?－，?，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等
?22?腰直角三角形，则△OAB的面积为________.
【答案】1
→→
【解析】：由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA⊥OB，→→→→22
|OA|＝|OB|.由OA⊥OB得(a－b)·(a＋b)＝|a|－|b|＝0，所以|a|＝|b|，
→→
由|OA|＝|OB|得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0. 所以|a＋b|＝|a|＋|b|＝2，
1→→
所以|OB|＝|OA|＝2，故S△OAB＝×2×2＝1.
2三、 解答题:
17．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 【答案】(1) |a＋b|＝43；|4a－2b|＝163 (2) k＝－7
2
2
2
?1?【解析】：由已知得，a·b＝4×8×?－?＝－16.
?2?
2020年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题16 平面向量的数量积及应用 理
