专题16 平面向量的数量积及应用
一、考纲要求:
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 二、概念掌握及解题上的注意点： 1.向量数量积的两种计算方法
1当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.向量数量积性质的应用类型与求解策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
|a|·|b|(2)两向量垂直的应用：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有 ①a＝a·a＝|a|或|a|＝a·a. ②|a±b|＝
2
2
a·ba±b2
＝a±2a·b＋b.
2222
③若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y. (4)射影的数量(投影)
a·ba在b上的投影|a| cos〈a，b〉＝.
|b|
三、高考考题题例分析：
例1．(2024·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
【答案】7
【解析】∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
例2. (2024·北京高考)已知点P在圆x＋y＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，→→
则AO·AP的最大值为________.
【答案】6
【解析】法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
2
2
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)． →
AO·AP＝|AO||AP|cos θ，
→→|AO|＝2，|AP|＝cos θ＝＝
→→→
x＋2x＋2x＋2
2
2
＋y，
2
2
AQAP＋y，
→→
所以AO·AP＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x＋y＝1上，所以x∈[－1,1]． →→
所以AO·AP的最大值为2＋4＝6.
2
2
例3.(2024·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 【答案】23.
【解析】法一：|a＋2b|＝＝a＋4a·b＋4b
＝2＋4×2×1×cos 60°＋4×1 ＝12＝23.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，
2
2
22a＋2b2
→
如图，则|a＋2b|＝|OC|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.
uuurrrr例4(2024高考安徽，理8)???C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足???2a，uuurrr?C?2a?b，则下列结论正确的是（）
uuurrrrrrrr（A）b?1（B）a?b（C）a?b?1（D）4a?b??C
??【答案】D
【解析】如图，
例5(2024高考山东理数)已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos
（B）–4
（C）
1.若n⊥39 4（D）–
9 4urrurrrurr【解析】：由4m?3n，可设m?3k,n?4k(k?0)，又n?(tm?n)，所以
rurrrurrrurrurrr21n?(tm?n)?n?tm?n?n?tm?ncos?m,n??n?t?3k?4k??(4k)2?4tk2?16k2?03所以t??4，故选B.
rrrrr例6.(2024高考新课标2理数)已知向量a?(1,m)，且(a+b)?b，则m?（ ） a=(3,?2)，
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
2024年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题16 平面向量的数量积及应用 理
