?2z
??(xy,yg(x))x?f12??(xy,yg(x))g(x)??f1??xy,yg(x)??y?f11?x?y??[xy,yg(x)]?x?f22??[xy,yg(x)]g(x)?．?g?(x)?f2??xy,yg(x)??yg?(x)?f12
因为g(x)在x?1可导，且为极值,所以g?(1)?0，则d2z
??(1,1)?f12??(1,1)．|x?1?f1?(1,1)?f11dxdyy?1(17)(本题满分10分)【解析】显然x?0为方程一个实根．当x?0时，令f
?x??
x
?k,
arctanxarctanx?x1?x2．2arctanx??x?R，f??x??令g?x??arctanx?
x1?x211?x2?x?2x2x2
g??x?????0，222221?x?1?x??1?x?即x?R,g??x??0．又因为g?0??0，即当x?0时，g?x??0；当x?0时，g?x??0．当x?0时，f'?x??0；当x?0时，f'?x??0．所以当x?0时，f?x?单调递减，当x?0时，f?x?单调递增又由limf?x??lim
x
?k?1?k，x?0x?0arctanxx
limf?x??lim?k???，x??x??arctanx所以当1?k?0时，由零点定理可知f?x?在(??,0)，(0,??)内各有一个零点；当1?k?0时，则f?x?在(??,0)，(0,??)内均无零点．综上所述，当k?1时，原方程有三个根．当k?1时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设f?x??ln?1?x?,x??0,?
n显然f(x)在?0,?上满足拉格朗日的条件，n?1???
?1?
??
11?1??1??1??1?f???f?0??ln?1???ln1?ln?1????,???0,??n??n??n?1??n?n?
所以???0,
??
1??时，n?
111111111
???，?????，即：1n1??n1?0nn?11??nn1?n1
亦即：1?1?1?ln?1???．n?1?n?n结论得证．n
1111
（II）设an?1??????lnn???lnn．23nk?1k先证数列?an?单调递减．11?n?11??n1??n??1
an?1?an????ln?n?1??????lnn???ln???ln??1?
kkn?1n?1n?1???n?k?1??k?1?
利用（I）的结论可以得到数列?an?单调递减．再证数列?an?有下界．n
1?1?
an???lnn??ln?1???lnn，?k?k?1kk?1
n
n
?1??k?1??234n?1?ln1??ln?ln????????????ln?n?1?，kk123n?????k?1k?1?n
n1?1?
an???lnn??ln?1???lnn?ln?n?1??lnn?0．?k?k?1kk?1
n
?
?，?
111?1?
?ln?1???0得到an?1?an，即?ln(1?)，所以n?1n?1n?n?
得到数列?an?有下界．利用单调递减数列且有下界得到?an?收敛．(19)(本题满分11分)【解析】I?
1111?
01
''xdx?yfxy(x,y)dy??xdx?ydfx'(x,y)
0001
1????xdxyfx?x,y?|0??fx'?x,y?dy?
??00??
??xdxfx'(x,1)??fx'(x,y)dy．0
0
1
?1
?因为f(x,1)?0，所以fx'(x,1)?0．I???xdx?fx'(x,y)dy???dy?xfx'(x,y)dx
0000111
1??????dyxf(x,y)|0??f(x,y)dx???dyf(1,y)??f(x,y)dx?
????0000????
1
1111???fdxdy?a．D(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于?1,?2,?3不能由?1,?2,?3线性表示，对(?1,?2,?3,?1,?2,?3)进行初等行变换：?113101???
(?1,?2,?3,?1,?2,?3)??124013?
?13a115???
3101?3101??11?11??????011?112???011?112?．?02a?3014??00a?52?10?????
当a?5时，r(?1,?2,?3)?2?r(?1,?2,?3,?1)?3，此时，?1不能由?1,?2,?3线性表示，故?1,?2,?3不能由?1,?2,?3线性表示．(II)对(?1,?2,?3,?1,?2,?3)进行初等行变换：?101113???
(?1,?2,?3,?1,?2,?3)??013124?
?115135???
?101113??101113???????013124???013124??014022??001?10?2?????
?100215?????0104210?，?001?10?2???
故?1?2?1?4?2??3，?2??1?2?2，?3?5?1?10?2?2?3．(21)(本题满分11分)?11???11?
TT????
【解析】(I)由于A00?00，设?1??1,0,?1?,?2??1,0,1?，则??????11??11?????
A??1,?2?????1,?2?，即A?1???1,A?2??2，而?1?0,?2?0，知A的特征值为?1??1,?2?1，对应的特征向量分别为k1?1?k1?0?，k2?2?k2?0?．由于r?A??2，故A?0，所以?3?0．由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设?3?0对应的特征向量为?3??x1,x2,x3?，则T
??1T?3?0,?x1?x3?0,
即??T??2?3?0,?x1?x3?0．
解此方程组，得?3??0,1,0?，故?3?0对应的特征向量为k3?3?k3?0?．T
(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：?1?
??1?11TTT
??1,0,?1?,?2?2??1,0,1?,?3?3??0,1,0?．?1?2?322??1?
??T
1令Q???1,?2,?3?，则QAQ?????，?0???
A?Q?QT?2??2??0?
??2??222022?
??0?
?1???????1??1?????0?????0?
????
22?0??22?22?0?22?010?
???
?2???2??0??2??2（22）（本题满分11分）22022???0????0????0???????
22220
0?01
2??2?2???2?0????
?001???000??．?100???
【解析】(I)因为PX2?Y2?1，所以PX
???2
?Y2??1?P?X2?Y2??0．即P?X?0,Y??1??P?X?0,Y?1??P?X?1,Y?0??0．利用边缘概率和联合概率的关系得到1
P?X?0,Y?0??P?X?0??P?X?0,Y??1??P?X?0,Y?1??；31
P?X?1,Y??1??P?Y??1??P?X?0,Y??1??；31
P?X?1,Y?1??P?Y?1??P?X?0,Y?1??．3即?X,Y?的概率分布为XY01-101/301/30101/3(II)Z的所有可能取值为?1,0,1．1
P?Z?0??1?P?Z?1??P?Z??1??．3Z?XY的概率分布为ZP-11/301/311/31
P?Z??1??P?X?1,Y??1??．31
P?Z?1??P?X?1,Y?1??．3(III)因为?XY?其中Cov?XY?D(X)D(Y)?
E?XY??E?X??E?Y?D(X)D(Y)，
2011-2020年近十年全国考研数学一试卷真题和答案解析(最新146页含书签导航)
