(II)求矩阵A．(22)(本题满分11分)设随机变量X与Y的概率分布分别为XPYP且PX2?Y2?1．01/312/31?11/301/31/3??(I)求二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II)求Z?XY的概率分布；(III)求X与Y的相关系数?XY．（23）（本题满分11分）设X1,X2,?,Xn为来自正态总体N(?0,?2)的简单随机样本，其中?0已知，?2?0未知．X和S分别表示样本均值和样本方差．(I)求参数?的最大似然估计量?；(II)计算E(?)和D(?)．?
2
?2
2
2
?22011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．(1)【答案】(C)．??1,y1???0，y2?(x?2)2,y2??2(x?2),y2???2,【解析】记y1?x?1,y1
??3(x?3)2,y3???6(x?3),y3?(x?3)3,y3
??4(x?4)3,y4???12(x?4)2,y4?(x?4)4,y4
y???(x?3)P(x)，其中P(3)?0，y??
x?3?0，在x?3两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在x?1处，故(A)，(B)错误；因为?an?单调减少，liman?0，所以an?0，所以n??n
?a
n?1
?
?
n
为正项级数，将x?2代入幂级数得?a
n?1
?
?
n
，而已知Sn=n
?a
k?1
k
无界，故原幂级数在x?2
处发散，(D)不正确．当x?0时，交错级数时?(?1)
n?1
an满足莱布尼茨判别法收敛，故x?0
?(?1)
n?1
n
an收敛．故正确答案为(C)．?z
|(0,0)?f?(x)?lnf(y)|(0,0)?f?(0)lnf(0)?0,?x(3)【答案】(A)．【解析】?zf?(y)|(0,0)?f(x)?|(0,0)?f?(0)?0,故f?(0)?0,?yf(y)?2z
A?2|(0,0)?f??(x)?lnf(y)|(0,0)?f??(0)?lnf(0)?0,
?x?2zf?(y)[f?(0)]2B?|(0,0)?f?(x)?|(0,0)??0,
?x?yf(y)f(0)?2zf??(y)f(y)?[f?(y)]2[f?(0)]2C?2|(0,0)?f(x)?|(0,0)?f??(0)??f??(0).2?yf(y)f(0)22
又AC?B?[f??(0)]?lnf(0)?0,故f(0)?1,f??(0)?0．(4)【答案】(B)．【解析】因为0?x?
?时，0?sinx?cosx?1?cotx，4又因lnx是单调递增的函数，所以lnsinx?lncosx?lncotx．故正确答案为(B)．(5)【答案】(D)．【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故?100???
A?110??B，?001???
?1
即AP，?BA?BP11．由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故?100?
??001??B?E，?010???
?1
即P2B?E,故B?P2?1?P2．因此，A?P2P1，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)是方程组Ax?0的一个基础解系，所以A(1,0,1,0)?0，且TTr(A)?4?1?3，即?1??3?0，且A?0．由此可得A*A?|A|E?O，即A*(?1,?2,?3,?4)?O，这说明?1,?2,?3,?4是A*x?0的解．由于r(A)?3，?1??3?0，所以?2,?3,?4线性无关．又由于r(A)?3，所以r(A*)?1，因此A*x?0的基础解系中含有4?1?3个线性无关的解向量．而?2,?3,?4线性无关，且为A*x?0的解，所以?2,?3,?4可作为A*x?0的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)?
????
??f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)??dx??????F2(x)dF1(x)?F1(x)dF2(x)??
??
????
??
??F(x)F(x)|d?F(x)F(x)12???1．1?2?
??
所以f1F2(x)?f2F1(x)为概率密度．(8)【答案】(B)．?X,X?Y,
【解析】因为U?max?X,Y???
?Y,X?Y,?Y,X?Y,
V?min?X,Y???
?X,X?Y．
所以，UV?XY，于是E(UV)?E(XY)?E(X)E(Y)．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．．．．(9)【答案】ln1?
?2．22?【解析】选取x为参数，则弧微元ds?1??y??dx?1?tanxdx?secxdx所以s?
?
?40
secxdx?lnsecx?tanx
?x
?40
?ln(1?2)．(10)【答案】y?esinx．?dxdxy?e?(?e?xcosx?e?dx?C)
【解析】由通解公式得?e?x(?cosxdx?C)?e?x(sinx?C)．由于y(0)?0,故C=0．所以y?e(11)【答案】4．【解析】?x
sinx．?Fsinxy
??y，?x1?(xy)2?2Fycosxy?sinxy?2xy2?y?，?x2[1?(xy)2]2?2F故|?4．2(0,2)
?x(12)【答案】?．【解析】取S:x?y?z?0,x?y?1，取上侧，则由斯托克斯公式得，2
2
dydzdzdxdxdy
原式=??
S
??xxz
'??yx
'?
???ydydz?xdzdx?dxdy．?zSy22因z?x?y,zx?1,zy?1.由转换投影法得??ydydz?xdzdx?dxdy???
S
[y?(?1)?x(?1)?1]dxdy．x2?y2?1
?
x2?y2?1??
(?x?y?1)dxdy??dxdy??．?
x2?y2?1??
(13)【答案】a?1．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A的特征值，故A的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵?1a1???A??a31?，?111???
由于A?
??i?1
3
1a1
i
?0，故a31?0?a?1．111
(14)【答案】??2??2．【解析】根据题意，二维随机变量?X,Y?服从N?,?;?2,?2;0．因为?xy?0，所以由二维正态分布的性质知随机变量X,Y独立，所以X,Y．从而有222
?E?XY2??E?X?E?Y2????DY?EY???????????．??
2
????三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出．．．文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)lim[ln(1?x)ex?1
【解析】lim[?ex?0]x?0x1
ln(1?x)1
?1].xxe?1
?e
x?0
lim
ln(1?x)?x
x2?e
1
x?x2?o(x2)?xlim2x?0x2?e
1
?x2?o(x2)lim2x?0x2?e．?
1
2(16)(本题满分9分)【解析】z?f?xy,yg(x)??z
?f1??xy,yg(x)??y?f2??xy,yg(x)??yg?(x)?x
2011-2020年近十年全国考研数学一试卷真题和答案解析(最新146页含书签导航)
