东莞理工学院（本科）试卷（A卷）（答案及评分标准）
2007 --2008学年第二学期
《高等数学（B）Ⅱ》试卷
开课单位：软件学院，考试形式：闭、开卷，允许带 入场
题序 得分 评卷人 一 二 三 总 分
一、填空题 （共24分 每题3分）
1. 极限lim?x0sintdtx2x?01? ( )。
22. 广义积分?3. 函数z?101。 dx? ( 发散 )（收敛、发散）
x1y?x的定义域为（ (x,y)x?y,x,y?R ）。
?2?4. 函数z?f(x,y)在点(x,y)的偏导数微分（ 是 ）。 5．级数???z?z, 连续，则该函数在该点是否可?x?ysin2n是（ 绝对收敛 ）（绝对收敛、条件收敛）。 2n?1(n?1)?(x?1)n6．级数?的收敛域是（ [0,2) ）。
nn?17．微分方程y??2xex2?y的通解是（e?e?C（C为任意常数））。
x*xyx218．微分方程y???2y??3y?e的特解形式是y?be，则b?（ ? ）。
4二、 计算题（共60分 每题5分）
１． 求积分
3x? 01?x2dx。
113x1 111122dx?d(1?x)?ln(1?x)?ln2 解：??22 0 01?x61?x660 1 （2分） （2分） （1分） 2．求积分
? e 1xlnxdx。
1 e2lnxdx （1分） ? 12e e解：
? e 1xlnxdx?11111e?(x2lnx1?? 1x2?dx)?(e2?x2)?(e2?1) 2x2214（2分） （1分） （1分） 3．已知函数z?eu?2v，而u?sinx,v?x3，求
dz。 dx解：
dz?zdu?zdv?????eu?2v?cosx?eu?2v(?2)?3x2 dx?udx?vdx（2分） （2分）
?esinx?2x3(cosx?6x2) （1分）
z4．已知方程e?xyz，求
?z?z,。 ?x?yz解：方程两边对x求导数，得e??z?z?yz?xy?（2分） ?x?x 整理，得
?zyz?z；（1分） ?xe?xyz?z?z?xz?xy?（1分） 方程两边再对y求导数，得e??y?y 整理，得
?zxzz?z。（其中z由方程e?xyz决定）（1分） ?xe?xy5． 计算二重积分域。 解：
??(x?6x)d?，其中D是由y?x，y?4x，x?1所围成的区
D14x14x2?dx(xy?3y)x?dx(x?6y)dy(x?6x)d???0?x??0
D （2分） （1分）
??0(-6x)dx??2x12310??2
（1分） （1分）
xsinyy?6．计算二重积分??及y?1所围成的区域。 dxdy，其中D是由y?x,
2yD解：
12ysiny1siny1sinysiny2ydxdy?dydx?dy?x?(2y?y)dy ??????y0y00yyyyD （2分） （1分）
??0sinydy??cosy0?1?cos1.
（1分） （1分） 7．判断级数
11?(n?1?nn)的敛散性。
2n?1n解：根式判别：limn???un?limnn???(nnn1)?lim??1
n???2n?12n?12 （2分） （1分） （1分） 故原级数收敛。（1分）
5n8．判断级数?的敛散性。
n?1n!?un?15n?1n!5?nlim?解：比值判别：lim?lim?0?1 n???n???n???5(n?1)!unn?1 （2分） （1分） （1分）
故原级数收敛。（1分） 9. 求幂级数
?nxn?1?n?1的收敛域及和函数.
解：设S(x)??nxn?1?n?1，则S(x)??nxn?1?n?1x??(x)??(?xn)??()?，
1?xn?1n?1?n? （2分） （1分）
(1?x)?x(?1)1 所以S(x)??(x?1) （2分） 22(1?x)(1?x)
10. 求微分方程y??y?x满足初始条件yx?0??1的特解.
解：为一阶线性微分方程， y?e??p(x)dx(?Q(x)e?p(x)dxdx?C)（1分）
?dx ?e(?xe??dxdx?C)?ex(?xe?xdx?C)（1分）
??xe?x?e?x?C，将yx?0??1代入，得C?1，
（1分） （1分） 故满足条件的特解为y??xe11. 求微分方程y????x（1分） ?e?x?1。
y??e?x的通解.
p(x)，则y???p?(x)，（1分）
解：可降解的微分方程。令y?? 原方程变形为：
p??p?e?x，为一阶线性微分方程，
p?e??p(x)dx(?Q(x)e?p(x)dxdx?C)
（2分） ?e??dx(?e?xe?dxdx?C1)?e?x(?e?xexdx?C1)?e?x(x?C1)，
所以y??e?x(x?C1)dx??xe?x?e?x?C1e?x?C2（1分）
2
3
??xe?x?C3e?x?C2(C3??C1?1)（C，C为任意常数）
（1分）
12. 求微分方程y???4y??5y解：相应的特征方程为r得r2?0的通解.
?4r?5?0，（2分）
（1分） ?2?i，
所以其通解为y?e（2分）
2x(C1cosx?C2sinx)（C，C为任意常数）
1
2
三、 应用题 （共 16分 每题 8分）
1．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告。根据统计资料，销售收入R（万元）与电视广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下的经验公式
R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2 若广告费用为万元时，求相应的最优广告策略。 解：
令
2L(x1,x2,?)?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2??(x1?x2?1.5)，
22（2分）
??L??x?14?8x2?4x1???0,?1?x1?0,??L ? ?32?8x1?20x1???0, 有惟一驻点??x2?1.5.??x2?x1?x2?1.5?0,?? （3分） （2分） 依题意，惟一驻点就是最大值点。（1分） 所以（略）
2．求由抛物线y?x与y?4x?x所围图形的面积。
22?y?x2解：如图，求交点? (0,0),(2,4) 2?y?4x?x （1分） （1分） （1分） A??0[(4x?x)?x]dx??0(4x?2x)dx （3分） （1分）
222222328（1分） ?(2x?x)0?。
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三07-08高数b2试卷(a)（答案）
