1
高等数学（上）重要知识点归纳
第一章 函数、极限与连续
一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）
limxn?a????0,?N,当n?N时，|xn?a|??
n??2、性质
(1) limf(x)?A?f(x)?A??(x)，其中?(x)为某一个无穷小。 x?x0f(x)?A?0，则???0,当x?U(x0,?)时，(2)(保号性）若limx?x0of(x)?0。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。 二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)lim??0sin?1??1 (2)lim(1?)?e ?????2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法 常用替换：当??0时
（1)sin?~? （2）tan?~? （3）arcsin?~? （4)arctan?~? （5）ln(1??)~? （6）e??1~? （7）1?cos?~?2 （8）n1???1~
12? n 2
4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义*
f(x)在a点连续
?lim?y?0?limf(x)?f(a)?f(a?)?f(a?)?f(a)
?x?0x?a??可去型（极限存在）?第一类??跳跃型（左右极限存在但不相等）??2、间断点的分类? ?无穷型（极限为无穷大）?第二类?震荡型（来回波动）???其他???3、曲线的渐近线*
(1)水平渐近线：若limf(x)?A,则存在渐近线：y?Ax??(2)铅直渐近线：若limf(x)??,则存在渐近线：x?ax?a
五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理
3
第二章 导数与微分
一、导数的概念 1、导数的定义*
y?|x?a?f?(a)?dy?yf(a??x)?f(a)f(x)?f(a) |x?a?lim?lim?lim?x?0?x?0x?adx?x?xx?a
2、左右导数 左导数f??(a)?lim?x?0??yf(x)?f(a) ?limx?a?xx?a?右导数f??(a)?lim?x?0??yf(x)?f(a) ?limx?a?xx?a?3、导数的几何意义*
y?|x?a?曲线f(x)在点（a,f(a))处的切线斜率k
4、导数的物理意义
若运动方程：s?s(t)则s?(t)?v(t)(速度）,s??(t)?v?(t)?a(t)(加速度）5、可导与连续的关系: 可导?连续，反之不然。 二、导数的运算
1、四则运算 (u?v)??u??v? (uv)??u?v?uv? ()??uvu?v?uv? 2vdydydu?u?2、复合函数求导 设y?f[?(x)]，一定条件下? ?yuxdxdudx3、反函数求导 设y?f(x)和x?f?1(y)互为反函数，一定条件下：y?x?1 x?y4、求导基本公式*（要熟记）
4
5、隐函数求导* 方法：在F(x,y)?0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解出y?
?x?x(t)6、参数方程确定函数的求导* 设?，一定条件下
?y?y(t)y?(t)?t?dyyt?dy?yt??xt??yt?xt??xxt??（可以不记） y???,y???xx3dxxt?dxxt?(xt?)7、常用的高阶导数公式 （1）sin(n)x?sin(x??),(n?0,1,2...)
n(n)cosx?cos(x??),(n?0,1,2...) （2）
2n2（3）ln(1?x)?(?1)(n)n?1(n?1)!,(n?12...) n(1?x)1n(?1)nn!)?,(n?0,1,2...) （4）(n?11?x(1?x)（5）（莱布尼茨公式）(uv)??Cnku(n?k)v(k)
(n)k?0n三、微分的概念与运算 1、微分定义 *
若?y?A?x?o(?x)，则y?f(x)可微，记dy?A?x?Adx 2、公式：dy?f?(x)?x?f?(x)dx 3、可微与可导的关系* 两者等价
?y?dy，f(x)?f(x??x)?f?(x)?x 4、近似计算 当|?x|较小时，
5
第三章 导数的应用
一、微分中值定理* 1、柯西中值定理*
(1)f(x)、g(x)在[a,b]上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导（3）g(x)?0,则：f?(?)f(b)?f(a)???（a,b),使得：?g?(?)g(b)?g(a)
当取g(x)?x时，定理演变成： 2、拉格朗日中值定理*
???（a,b),使得：f?(?)?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)
b?a当加上条件f(a)?f(b)则演变成： 3、罗尔定理* ???（a,b),使得：f?(?)?0 4、泰勒中值定理 在一定条件下：
f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x)
n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1?o((x?x0)n),?介于x0、x之间. 其中Rn(x)?(n?1)!当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理. 当x0?0时，公式变成:
f(n)(0)n5、麦克劳林公式 f(x)?f(0)?f?(0)x?...?x?Rn(x)
n!
高等数学（上）重要知识点归纳
