五年级思维培训 ：第一讲
数的整除性 基础知识：
1. 整除的概念、性质.概念：若是a、b、c是整数而且b?0 ，a?b=c那么称a能被b整除或b能整除a，记做b?a，不然称为a不能被b整除或b不能整除a，记做b|a.
性质1：若是a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除. 性质2：若是b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.
性质3：若是b、c都能整除a，而且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.
性质4：若是c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.
性质5：若是b和c的乘积能够被a整除，而且a，b互质，那么c能够被a整除.
2. 被2（5）整除特点：个位上的数是2,4,6,8,0（5或0）的数。 3. 被3，9整除特点：数字之和是3,9的倍数.
4. 被4（25）整除的特点：后2位能被4（25）整除； 被8（125）整除的特点：后3位能被8（125）整除.
5. 被11整除特点：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.
6. 被7、11、13整除特点：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除.
7. 整除性质、特点的综合应用，末尾0的个数问题的处置，运用设未知量求解整除问题.
例题：
例1、若是六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？
解：设六位数为2012????，105=3×5×7，依次考虑被3,5,7整除取得3∣a+b-1，
b=0或5, 7∣(10a+b-1)，取得唯一解a=8,b=5.故后两位为85.
例2、求所有的x，y知足32??5??使得，72∣32??5??. 解：72=8×9，依照整除9性质易患x+y=8或17，依照整除4 的性质y=2或6，别离能够取得5位数32652、32256，查验可知只有32256知足题意.
例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处笔迹已经模糊不清，请你补上□中的数字而且算出每只羽毛球的单价. 解：设两个□处的数字别离是a、b，那么有143∣??679??，依照11∣??679??，有a+b=8，再依照13∣??679??，因此13∣(100a+67-90-b)，再依照a+b=8取得13∣（10a-5）解得a=7 b=1因此方框处的数字是7和1，单价元.
例4、把假设干个自然数1,2,3….乘到一路，若是已知那个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？
解：最后14位都是0说明那个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比
14
因数5多得多，只需考虑其整除5，5的倍数可是不是25的倍数能够提供一个因数5，25的倍数可是不是125的倍数能够提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即那个自然数至少是60.
例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.
解：?????????，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.
例6、 要使六位数10??????6能够被63整除，那么商最小是多少？
解：??????. 考虑10??????6能被7整除，于是有7∣(100b+10c+6-100-a)，整理得
7∣(2b+3c-a+4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c=2或11或20. 由于要求最小的商也确实是最小的被除数，先希望a=0. 现在，易验证b=0, b=1无解，而在b=2时，有解c=9，因此最小的被除数是100296，最小的商是1592.
例7、 所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？
解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，90000?2520?35??1800，10000?2520?3??2440，因此共有36个.
例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？ 解：如此的四位数被11整除，必然有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情形，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3别离只能取得1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情形相同能够取得4个4位数，1+3=2+2也能取得4个4位数，因此一共有19个.
例10、已知11个持续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？
解：因为持续11个数是343的倍数，而343?73，可是11个数中之多有两个是7的倍数，因此这11个数中有49或98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，因此这11个数中又有25或50或75，而且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，因此只能是40到50这11个数.因此最小的数是40.
作业题：
1. 已知六位数2??3??4??能够被720整除，请问那个六位数是多少？（答案=213840或293040）
2．5555555□9999999是7的倍数，求空格中的数字.（答案：3） 3. 一个三位数，它的百位数字是4，加9能被7整除，请问那个数是多少？ （答案=439）
4. 请证明六位数???????????? 必然能被7、11、13整除.（证明略）
5．已知自然数A的各个数位上的数码之和与3A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除. （3A数字和是3的倍数，A的也是，因此A能被3整除，因此3A能被9整除，因此数字和是9的倍数，因此A的也是，因此A能被9整除.）
课堂练习题：
班级________ 姓名___________ 得分______
1、 若是一个数??327??能被72整除，求a+b.
答案：a+b=6.整除8的性质能够推出b=2，整除9的性质能够推出a=4. 2、 请依照7、11整除判定方式的推导和证明，类比推出关于17的整除判定（提示17×59=1003）
答案：末三位与末三位之前的数的三倍之差能被7、11、13整除
3、 用1、2、3、4（每一个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？ 解：1+4=2+3，因此1，4在偶数位，2和3在奇数位或1和4在奇数位，2和3在偶数位，共有2×2×2=8个.
4、已知四个整数，他们两两的和都能被两两的差整除，请问其中最大的两个数的和最小是多少？
解：10. 思想：差越小越容易整除. 任意持续的3个数，只要其中有两个偶数都知足要求，因此能够找到2，3，4，6. 容易验证没有更小的符合题目要求的解.
第23周分解质因数一
