_*
部分的体积（含杯壁）为V2，那么杯子受到的浮力：F浮=ρ1gV1+ρ2gV2=ρ1gπR（L﹣h）+ρ2gπRh，根据平衡条件可得：
mg+ρ1gπrL=ρ1gπR（L﹣h）+ρ2gπRh；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
当杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，将上面的液体排出去，这个过程一直进行到当杯内两种液体的分界面与杯外两种液体的分界面相平，此时杯子也处于平衡状态，所以可以列出与上面类似的等式：
mg+ρ1gπr（L﹣H）+ρ2gπrH=ρ1gπR（L﹣H）+ρ2gπRH；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② ①﹣②得：
ρ1gπrL﹣ρ1gπr（L﹣H）﹣ρ2gπrH=ρ1gπR（L﹣h）+ρ2gπRh﹣ρ1gπR（L﹣H）﹣ρ2gπRH， ρ1gπrL
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
﹣ρ1gπrL+ρ1gπrH
2
2
22
﹣ρ2gπrH=ρ1gπRL
22
﹣ρ1gπRh+ρ2gπRh
22
﹣
ρ1gπRL+ρ1gπRH﹣ρ2gπRH，
ρ1gπrH﹣ρ2gπrH=ρ2gπRh﹣ρ1gπRh+ρ1gπRH﹣ρ2gπRH， ρ1rH﹣ρ2rH=ρ2Rh﹣ρ1Rh+ρ1RH﹣ρ2RH， ρ1rH﹣ρ2rH﹣ρ1RH+ρ2RH=ρ2Rh﹣ρ1Rh， 解得：H=
h．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
答：当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度为四、实验题(本题共26分)
h．
17.(12分某实验室为了研究刹车距离S（发现情况到车辆停止运动所行驶的距离）与反应时间t（发现情况到采取制动措施的时间）的关系，通过实验得到以下数据．设在实验中，每次刹车时车速相同，刹车系统的制动力大小不变．
（1）请用作图法画出刹车距离S与反应时间t的关系图； （2）请利用图线确定实验中汽车刹车时的速度大小． 反应时间t（秒） 刹车距离S（米）
0.54 57
0.63 59
0.70 61
1.05 68
1.28 73
1.48 78
_*
解：（1）结合表中数据，横坐标对应反应时间，纵坐标对应刹车距离，用描点法绘制出图象如下：
（2）由图可见，图象中距离最远的两个点之间的距离S=78m﹣57m=21m，这两个点之间的时间t=1.48s﹣0.54s=0.94s， ∴汽车刹车时的速度为： V==
=22.34m/s
18.(14分) 复印机的扫描器是由截面为正六边形、表面为镜面的柱体构成，正六边形的边长为a，柱体可以绕转动轴O转动（如图所示）．在扫描器右侧并排竖直放置一个薄透镜，透镜的焦距为f，透镜的主光轴通过扫描器的转动轴O．在透镜右焦平面放置一光屏，光屏的中心位于主光轴上．现有一竖直光束，其延长线与转动轴距离，从图示位置射向扫描器． （1）请用尺规作图，画出该光线通过系统后射到光屏上的位置． （2）求射到主光轴上方光屏的光点到主光轴的最大距离d．
_*
解：（1）过光心的光线其传播方向不改变，如下图所示．
（2）镜面从图示位置每转过60°，入射点的法线与竖直方向上的夹角从30°增大到60°，又减小到30°，因此镜面在转动过程中，反射光线与入射光线的最大夹角为120°，所以，反射光线偏离主光轴（主光轴上方）的最大夹角为30°，作其副光轴交于焦平面，如图所示，可见d=ftan30°=故答案为：
f，
（2）最大距离d=
f．
五、判断与说理题(本题共26分)
19.(12分) 如图所示是航天控制中心的大屏幕上的一幅卫星运行轨迹图，它记录了卫星在地球表面垂直投影的位置变化；图中表示在一段时间内卫星绕地球中心圆周飞行四圈，依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①、②、③、④，图中分别标出了各地点的经纬度（如：在轨迹①通过赤道时的经度为西经157.5°，绕行一圈后轨迹②再次经过赤道时的经度为180°），设地球半径为R=6400千米，卫星离地面的高度为343千米． （1）卫星运行的周期是多少？
（2）请用纬度表示卫星上摄像设备能拍摄到的地表范围．
_*
解：①卫星每运行一周，地球自转角度为180°﹣157.5°=22.5° 则卫星运行的周期T为T=
×24×3600S=5400s=1.5h．
②从图中可知卫星轨道平面与赤道平面的夹角为42.4°
由图可知：cosa=
=0.9491，即a=18.36°，42.4+a=60.76，可得拍摄范围在北纬60.76°
到南纬60.76°之间．
答：（1）卫星运行的周期是1.5小时；
（2）卫星上摄像设备能拍摄到的地表范围是北纬60.76°到南纬60.76°之间．
20. 科学家利用光与微粒（100毫米左右）发生相互作用的特性，发明了一种用激光来操纵微粒的工具﹣﹣﹣光镊子．其原理是：当一束会聚的激光束从光疏媒质进入光密媒质时发生折射（如图题1所示），光束的会聚程度将减弱，光束在界面受到向下的力；当一束会聚的激光束从光密媒质进入光疏媒质时发生折射（如图题2所示），光束的会聚程度将增强，光束在界面受到向上的力．
_*
（1）现有一束向某点会聚的激光束射向折射率大于周围介质的小球，试分析图3所示情况下，小球受到激光束的总作用力方向．
（2）用光镊子捕获和移动水中的玻璃小球十分方便．图4是利用光镊子把水中玻璃小球排成“人”字形或“口”字形的照片．实验时，将混有直径为2.5微米的玻璃小球的水溶液滴在载玻片上，然后利用光镊子将玻璃小球提离载玻片，并在水中移动．设光镊子的捕获力与激光的功率成正比．已知玻璃小球的密度ρ=2.0×10千克/米，激光的最大功率为Pmax=30毫瓦，球体的体积V=πr．实验发现当激光功率为P=16毫瓦时，恰好能将玻璃小球提离载玻片．求该光镊子能产生的最大捕获力．
解：（1）由图可知，光线经两次折射折向上方，即光束经过（玻璃）介质球受到的总作用力的效果为向上，所以玻璃（介质）球受到的激光束的总作用力方向向下．
3
3
3
（2）由激光功率为P=16毫瓦时，恰好能将玻璃小球提离载玻片，可得： G球=则
+F浮，
=G球﹣F浮=ρ球gV球﹣ρ水gV排，
3
3
3
∵V排=V球，玻璃小球的密度ρ=2.0×10千克/米，体积V=πr，r=∴
=1.0×10kg/m××π×（1.25×10m）×9.8N/kg≈8.0135×10
3
3
﹣6
3
μm=1.25×10m，
﹣14
﹣6
N，
∵光镊子的捕获力与激光的功率成正比． ∴
∴F捕=1.5×10
﹣13
， N．
﹣13
答：该光镊子能产生的最大捕获力为1.5×10
N．
2016年度上海地区第30届初级中学物理竞赛(大同杯)复赛试卷及详解
