机械振动知识点

简谐运动及其图象

知识点一：弹簧振子 （一）弹簧振子

如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。小球滑动时的摩擦力可以 ，弹簧的质量比小球的质量 得多，也可忽略。这样就成了一个弹簧振子。

注意：

（1）小球原来 的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。

（2）小球的运动是平动，可以看作质点。

（3）弹簧振子是一个不考虑 阻力，不考虑弹簧的 ，不考虑振子（金属小球）的 的 化的物理模型。

（二）弹簧振子的位移——时间图象

（1）振动物体的位移是指由 位置指向 _的有向线段，可以说某时刻的位移。 说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于 位置而言的，即初位置是 位置，末位置是振子所在的位置。

（2）振子位移的变化规律

O→A 对O点位移的向 方向 右 减大小变化 小 （4）弹簧振子的位移－时间图象是一条 曲线。 振子的运动 A→O O→B 向 左 B→O

知识点二：简谐运动 （一）简谐运动

如果质点的位移与时间的关系遵从 函数的规律，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。

简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。 （二）描述简谐运动的物理量

（1）振幅（A）

振幅是指振动物体离开 位置的 距离，是表征振动强弱的物理量。

一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是 变的，而位移是时刻在 变的。

（2）周期（T）和频率（f）

振动物体完成一次 所需的时间称为周期，单位是秒（s）；单位时间内完成 的次数称为频率，单位是赫兹（HZ）。

周期和频率都是描述振动快慢的物理量。周期越小，频率越大，表示振动得越快。 周期和频率的关系是： （3）相位（φ）

相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。

（三）固有周期、固有频率

任何简谐运动都有共同的周期公式：T?2?mk，其中m是振动物体的 ，k是回复力系数，

对弹簧振子来说k为弹簧的 系数。

对一个确定的简谐运动系统来说，m和k都是恒量，所以T和f也是恒量，也就是说简谐运动的周期只由 本身的特性决定，与振幅 关，只由振子质量和回复力系数决定。T叫系统的 周期，f叫 频率。

可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是T?2?接使用。

（四）简谐运动的表达式

y=Asin（ωt+φ），其中A是 ，??T?mk。这个结论可以直

f，φ是t=0时的相位，即初相位或初相。

知识点三：简谐运动的回复力和能量

（一）回复力：使振动物体回到平衡位置的力。

（1）回复力是以 命名的力。性质上回复力可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力。

如在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧在伸长和压缩时产生的 力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧 力和 力的合力。

（2）回复力的作用是使振动物体回到平衡位置。回复力的方向总是“ 平衡位置”。 （3）回复力是是振动物体在 方向上的合外力，但不一定是物体受到的合外力。 （二）对平衡位置的理解

（1）平衡位置是振动物体最终 振动后振子所在的位置。

（2）平衡位置是回复力为 的位置，但平衡位置 是合力为零的位置。 （3）不同振动系统平衡位置不同。竖直方向的弹簧振子，平衡位置是其弹力 于重力的位置；水平匀强电场和重力场共同作用的单摆，平衡位置在电场力与重力的合力方向上。 （三）简谐运动的动力学特征

F回＝ ，a回＝－kx/m，其中k为比例系数，对于弹簧振子来说，就等于弹簧的 系数。负号表示回复力的方向与位移的方向 。

也就是说简谐运动是在跟对平衡位置的位移大小成正比、方向总是指向平衡位置的力作用下的振动。

弹簧振子在平衡位置时F回= 。当振子振动过程中，位移为x时，由胡克定律（弹簧不超出弹性限度），考虑到回复力的方向跟位移的方向相反，有F回= ，k为弹簧的劲度系数，所以弹簧振子做简谐运动。

（四）简谐运动的能量特征

振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，总的机械能 。

振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越 。 知识点四：简谐运动过程中各物理量大小、方向变化情况 （一）全振动

振动物体连续两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的的过程，即物体运动完成一次规律性变化。

（二）弹簧振子振动过程中各物理量大小、方向变化情况

过程：物体从A由静止释放，从A→O→B→O→ ，经历一次全振动，图中O为平衡位置，A、B为最大位移处：

取OB方向为正： 物理速位加速回复动能势能运动量 度移s 度a 力F Ek EP 性质 过程 v A 最 最大 最大 0 最大 大(-) kA a↓的变加速运动 增 减小 A→O 大 增大 减小 (-) (+) 0 势能全部 转化为动能 减小 O 0 最大 0 减增大 增大 O→B 小 (-) (+) (+) B 0 最大 0 减增减小 B→O 小大 (-) (+) 增大 (-) O 0 0 减增大 O→A 小 减小 (+) (-) a↑的变减 速运动 最大 动能全部 转化为势能 a↓的变加 速运动 0 势能全部 转化为动能 a↑的变减增大 速运动 小结：弹簧振子的运动过程是完全对称的。 （1）B、O、A为三个特殊状态

O为平衡位置，即速度具有最大值vmax，而加速度a＝ A为负的最大位移处，具有加速度最大值amax，而速度v＝ B为正的最大位移处，具有加速度最大值amax，而速度v＝

（2）其运动为变加速运动与变减速运动的交替过程，在此过程中，机械能守恒，动能和弹性势能之间相互转化

加速度a与速度v的变化 ???vmax，而加速度a?0

a，而速度v?0??max（3）任一点C的受力情况

重力G与弹力N平衡；F回＝F弹＝kx，可看出回复力方向始终与位移方向相反 知识点五：简谐运动图象的应用

（一）简谐运动图象的物理意义

图象描述了做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即是位移——时间函数图象。 注意振动图象 质点的运动轨迹。 （二）简谐运动图象的特点

简谐运动的图象是一条正弦（余弦）曲线。

（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为x?Asin?t，图象如图1。 （2）从最大位移处开始计时，函数表达式x?Acos?t，图象如图2。

（三）简谐运动图象的应用

（1）振动质点在任一时刻的位移。如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1=+7cm、x2=-5cm。

（2）确定振动的振幅、周期和频率。

图中 位移的值就是振幅，如图表示的振动振幅是10cm；

振动图象上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示 。由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于 =0.2s；

频率f?1?5HZ。 T（3）确定各时刻质点的速度、加速度（回复力）的方向。

加速度方向总与位移方向相 。只要从振动图象中认清位移的方向即可。例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2便为正；

判定速度的方向的方法有：

①位移——时间图象上的斜率代表速度。某时刻的振动图象的斜率大于0，速度方向与规定的正方向 ；斜率小于0，速度的方向与规定的正方向 ；

②将某一时刻的位移与相邻的下一时刻的位移比较，如果位移 ，振动质点将远离平衡位置；反之将靠近平衡位置。

例如图中在t1时刻，质点正远离平衡位置运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动。 （4）比较不同时刻质点的速度、加速度、动能、势能的大小。

加速度与 的大小成正比。如图中|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|；

而质点的位移越大，它所具有的势能越 ，动能、速度则越 。如图中，在t1时刻质点的势能EP1大于t2时刻的势能EP2，而动能则Ek1＜Ek1，速度v1＜v1。

小结：若某段时间内质点的振动速度指向平衡位置（可为正也可为负），则质点的速度、动能均变 ，回复力、加速度、势能均变 ，反之则相反。凡图象上与t轴距离 的点，振动质点具有相同的动能和势能。

单摆 外力作用下的振动

知识点一：单摆 （一）单摆

如图所示，一条 的细线下端拴一小球，上端固定，如果细线的质量与 相比可以忽略，球的直径与 的长度相比可以忽略，这样的装置叫单摆。单摆是实际摆的理想化模型。

（二）在摆角较小的条件下，单摆的振动是 运动

证明：将摆球由平衡位置O点拉开一段距离，然后由静止释放，摆球在摆线拉力T和重力G共同作用下，沿圆弧在其平衡位置O点左右往复运动。

当它摆到位置P时，摆线与竖直夹角为θ， 将重力沿圆周切线方向和法线方向（半径方向）分解成两个分力G1与G2，其中G1=mgsinθ，G2=mgcosθ

G2与T在一条直线上，它们的合力是维持摆球做圆周运动的 力。它改变了摆球的运动 ，而不改变其速度的大小。

而G1不论摆球在平衡位置O点左侧还是右侧，始终沿圆弧切线方向 平衡位置O，正是在G1的作用下摆球才在平衡位置附近做往复运动，所以G1是摆球振动的 力。即：F回= 。

在摆角较小的条件下，sin????OPx?ll

mg?x。 l在考虑了回复力F回的方向与位移x方向间的关系，回复力可表示为：F回=?对一个确定的单摆来说，m、l都是确定值，所以

mg为常数，即满足F回=－kx。 l所以在摆角较小的条件下，使摆球振动的回复力跟位移大小成 ，而方向与位移的方向 ，故单摆的振动是简谐运动。 （三）几种常见的单摆模型

θ θ O R a

θ 知识点二：探究单摆的周期与摆长的关系 （一）探究思路

探究影响单摆周期的因素可以从单摆的装置入手，单摆的装置包括细绳和小球。因此影响单摆周期的因素可能有：细绳的长度、小球的质量、摆角等。在这里只探究单摆的周期与摆长的关系。 （二）操作技巧 （1）实验所用的单摆应符合理论要求，即摆线要 且弹性要 ，摆球用密度和质量较 的小球，以减小空气阻力影响，并且要在摆角较 的情况下进行实验。 （2）要使单摆在竖直平面内振动，不能使其形成 摆或摆球转动，方法是摆球拉到一定位置后由 释放。 （3）单摆的上端不要卷在夹子上，而要用夹子加紧，以免单摆摆动时摆线滑动或者摆长改变。 （4）测量摆长时，不能漏掉摆球的 。 （5）测单摆周期时，应从摆球通过 位置开始计时，在数到“零”的同时按下秒表开始计时计数。计时从平衡位置开始是因为此处摆球的速度最大，人在判定它经过此位置的时刻，产生的计时误差较小。要测量30次到50次全振动的时间，然后取 值计算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 （三）数据的处理 先通过数据分析，对周期和摆长的定量关系做出猜测，例如可能是T?l、T?l2，或者T?l 、T?3l……然后按照猜测来确定纵坐标轴和横坐标轴。例如，我们通过简单的估算，认为很可能是T?l2，那么可以用纵坐标表示T，横坐标表示l2，作出图象。如果这样作出的图象确实是一条直线，说明的确有T?l2的关系，否则再做其他尝试。 （四）实验结论