2.x(y??1)?sin(x?y)?0，y(?2)?0
解：设x?y?u?y?u?x?dydudx?dx?1 xdudx?sinu?0?dudxsinu?x?lncscu?cotu??lnx?lnc cscu?cotu?cx?1?cos?x?y?sin?x?y??cx，因为x???2,y?0?c?2
所以
1?cos?x?y?sin?x?y???2x
3.
1?x2y'sin2y?2xsin2y?e21?x2
解：令u?sin2y,则u'?y'sin2y. 得到
1?x2u'?2xu?e21?x2, u'?2xe21?x21?x2u?为一阶线性方程
1?x2解得 u?e21?x2(c?ln|x?1?x2|). 即 sin2y?e21?x2(c?ln|x?1?x2|).
4.xy'lnxsiny?cosy(1?xcosy)?0
解：令cosy?u, 则 u'??y'siny. 原方程化为?u'xlnx?u(1?xu)?0
?u'?u?xlnx?u2lnx, 为贝奴利方程，u'1u2?xlnx?1u?1lnx. 令z?1u, 则z'??u'1u2. 方程化为 z'?xlnxz?1lnx, 为一阶线性方程.
解得 z?(x?c)1lnx. 即 cosy?x?clnx, (x?c)cosy?lnx.
八、综合题
1.设f（x）＝xsinx－
?x0(x?t)f(t)dt，其中f（x）连续，求f（x）
解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得
f??x??xcosx?sinx??x0f?t?dt
再对两边关于x求导，得 f???x???xsinx?2cosx?f(x)
即 f???x??f?x???xsinx?2cosx 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 y?C1cosx?C2sinx，
__非齐次方程特解设y?x?Ax?B?cosx?x?Cx?D?sinx 代入方程求出系数
__A,B,C,D 则得y?14x2cosx?34xsinx，故f（x）的一般表达式 f(x)?134x2cosx?4xsinx?C1cosx?C2sinx
由条件和导数表达式可知f（0）＝0，f??0??0可确定出C1?0,C2?0因此
f(x)?14x2cosx?34xsinx 2.已知yx?e2x，yx?e?x1?xe2?xe，yx?x3?xe?e2x?e是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.
解：由线性微分方程的解的结构定理可得，
y?x1?y3?e，y2x?x1?y2?e?e，?y1?y3???y1?y2??e2x
对应的齐次方程的解，由解e?x与e2x的形式，可得齐次方程为y???y??2y?0.
设该方程为y???y??2y?f(x)，代入yx2xf?x???1?2x?ex1?xe?e，得.
所以，该方程为y???y??2y??1?2x?ex， 其通解为C1e?x?C2e2x?xex?e2x.
6
3.设F(x)?f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在(??,??)内满足以下条件
设方程（*）的特解为y＝A cosx+ Bsinx ，
__11代入方程（*）求得A＝0，B＝－，故y＝－sinx，
221x?x从而y???y?sinx的通解是y(x)?C1e?C2e?sinx.
23由y(0)?0,y??0?? ，得C1?1,C2??1，
21x?x故所初值问题的解为y(x)?e?e?sinx.
2__f?(x)?g(x),g?(x)?f(x),且f(0)?0,f(x)?g(x)?2e
（1）求F(x)所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出F(x)的表达式
解：F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?g2(x)?f2(x)?[f(x)?g(x)]2?2f(x)g(x)?(2ex)2?2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F?(x)?2F(x)?4e （2）F(x)?e??2dxx2x??4e2x?e?2dxdx?c?e?2x?4e4xdx?c?e2x?ce?2x
???5.设?(x)是以2?为周期的连续函数，??(x)??(x),?(0)?0,?(2?)?0 （1） 求微分方程
将F(0)?f(0)g(0)?0代入，可知c??1 于是
F(x)?e2x?e?2x
dy?ysinx??(x)ecosx的通解（2）以上这些解中，有没有 dxdy?ysinx?0?y?ecosx?c?c?ecosx dx4.设函数y?y?x?在???,???内具有二阶导数，且y??0,x?x?y?是y?y?x?的
以2?为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。 解：（1）先解对应的齐次方程：
?dx?d2x?????y?sinx?0变换为反函数（1）试将x?x?y?所满足的微分方程2??dy?dy?（2）求变换后的微分方程满足初始条件y?0??0，y?y?x?满足的微分方程；
3y?c?x?ecosx?dy?c??x?ecosx?c?x?ecosx??sinx?带入上式 dxc??x????x??c?x?????x?dx，因为??(x)??(x)???x?????x?dx
y??0??3的解。 2c?x????x??c?y???x?ecosx?cecosx
dx1dx? 即y??1，两端关于x求导 dyy?dy（2）若有以2?为周期的解，满足：f?x?2???f?x??0
解：（1）由反函数导数公式知
f?x?2???f?x??ecos?x?2?????x?2???c??f?x??ecosxdxy??22dxy??dy得 y??dx?dx?y??2?0，所以2??。 ??232dydydy?y???y??代入原微分方程得y???y?sinx （*）
x?x（2）方程（*）所对应的齐次方程y???y?0的通解为Y?C1e?C2e
???x?2???c??e???x??c?cosx
关键是看??x?是否为周期函数：??x??
2????x?dx
0x所以没有2?为周期的解。 ???x?dx???2?????0??0，??x?不是周期函数，
0 7
6.已知曲线y＝f(x)（x>0）是微分方程2y//+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线y＝f(x)到x轴的最大距离。（2）计算解：y???解：y?y(x)在点P(x,y)的切线方程为：Y?y?x??y??x??X?x? 它与x轴的交点为??x??????0f(x)dx
y?,0?，由于y??x??0,y?0??1，因此y?x??0 y???1y111y????2?3x?e?x??2????0??1?,?2??1 222221x2x?1y?y2?x??于是有S1?yx??，又因为S?y?t?dt，2S1?S2?1 2???0??2y?2y?齐次方程通解为：y?c1e?c2e?x，根据已知条件特解为：Y??x?a?bx?e?x
?2?x特解代入原式得：a?0,b?1，所以Y?xe所以通解为：y?c1e1x2，
xy22 ??y?t?dt?1，两边求导并化简得：yy???y?? 2y?0?c2e?x?x2e?x，由已知得：f?0??0,f??0??0
2?x解上述微分方程：设p?y?，则上述方程化为ypdpdpdy?p2?? dypy所以c1?c2?0，所以y?xe
求y?f?x?到x轴的最大距离，即求y的最大值。
p?C1y，即
dy?C1y?y?eC1x?C2， dxxy??e?x2x?x2，当y??0时，x?0,x?2，f?0??0,f?2??4e?2
f????limxex??2?x??根据y?0??1,y??0??1?C1?1,C2?0。所以曲线方程为：y?e
2.设曲线L的极坐标方程为r?r(?)，M(r,?)为L任一点，M0(2,0)为L上一定
x2?limx?0 x??e?2点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。
?x222解：因为ds?1?y?dx?r?r?d? s??所以y?f?x?到x轴的最大距离为f?2??4e。 （2）
????0f(x)dx???xde0??2?x??xe2????0??e?2xdx?0?2?2
0??012r???d? 2九、微分方程的几何和物理应用
1.设函数y(x)(x?0)二阶可导，且f?(x)?0,y(0)?1,过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面
1?21?22?rdr?r?rd?，两边对?求导可得： 由已知可得：??0022r2?r2?r?2，即r???rr2?1?drdrrr?12??d?，设r?sect，
积记为S1,区间?0,x?上以y?y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1?S2恒为1，求此曲线y?y(x)的方程。
8
11???arcsin?C??arcsin?C????C? ?rr2?1rr6
??rsin?????1?r?csc?????x?3y?2
?6??6?3.有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。
设曲线在原点与P点之间的弧长为S1，曲线在P 点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2，且
????令u?ydydudu,y?xu,?u?x?3u?u?1?，当u?0,u?1时 ，xxdxdxdxu?1dudx?cx3，方程通解为 ?3 两边积分后得uu?u?1?x3S1?22(x?1)=，求该曲线的方程。
xS2y?x?cx3y，再由yx?2?x2，可得c??1?y? 31?x9解：设曲线方程为y?f?x?，S1??x01?y?2dx
5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数
曲线在P 点的切线方程为：Y?y?y??X?x? 因此与y轴的交点为：?0,y?y?x?，因此S2?K?0，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆开始融化
x2?x2y?2
x3S1?22(x?1)22??因为=，所以21?y?x?x?1???3?1?y??2??x
?0?xS22两边求导得出：1?y??2?x?1?y?y??，解方程得出：y?x3
3224.设函数f?x?在?1,???上连续，若曲线y?f?x?，直线x?1，x?t?t?1?与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V?t????t32f?t??f?1?，试求
?7，问雪堆全部融化需要多少小时。 8232解：设雪堆在时刻t的体积V??r，表面积为S?2?r。
3dV2??Ks， dV??3?r2?dr?2?r2dr 由已知可得dt3drdr2?r2??K?2?r2，于是??K?r??Kt?C，由r?0??r0
dtdt121213r?r0?Kt，又因为V?3??V?0?，??r0?3K????r03，K?r0
838361r?r0?r0t，雪球全部融化时，r?0?t?6，即雪球全部融化需要6小时。
6的3小时内，融化了其体积的
6.有一房间容积为100m，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为10m/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空
33y?f?x?所满足的微分方程，并求y解：由题意可知V?t???则3x?2?2的解. 92?t1f2?x?dx???t3f?t??f?1?
?气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？
?t1 f2?x?dx?t2f?t??f?1?，两边对t求导，3f2?t??2tf?t??t2f??t? 解：设t时刻二氧化碳的浓度为x，在时间间隔?t,t?dt?，浓度改变dx
2dy?y??y?t?x,f?t??f?x??y，得x2y??3y2?2xy，?3???2??
dx?x??x?10?0.04%?dt?10?x?dt?100?dx?0.004dt?10xdt?100dx
dxdtdxdt????，两边积分可得：
0.004?10x10010x?4?10?49
lnx?4?10??4??t?4???C?x?4?10?Ce10
10t可降至m0以内。（设湖水中A的浓度是均匀的）。
解：设从2000年初（令此时，t?0）开始，第t年湖泊中污染物A的总量为m?t?，浓度为
因为t?0,x?12?10?4?C?8?10?4 所以x?4?10?4?8?10?4e3t?10?t?10,x?0.07%
33m，则在时间间隔V?t,t?dt?上，排入湖泊中A的量近似为
?t,t?dt?上，
t7.有一容积为500m的水池，原有100m的清水，现在每分钟放进2m浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出1m溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。 解：设t时刻溶液中溶质的量为x，在时间间隔?t,t?dt?，质量改变dx
3m0VmmVm?dt?0dr，，排出量为：?dt?dt，则在时间间隔
V33V66?m0?m0m?m?t?的改变量为：dm???Ce3 ??dt，分离变量解方程：m?23??6t??m2?9?1?9e3? 代入初始条件m?0??5m0，C??m0，于是m??22???x?dxx???1，这是一阶线性微分方程 ?2?50%?1??dt?dx?100?t?dt100?t?cc?t?先解对应的齐次方程：x?，再解非齐次方程x?
100?t100?t12t?100t?c122 c?t??t?100t?c?x?2100?c12t?10t0因为t?0,x?0?c?0?x?2，当水池充满时，
10?t0x?48% 100?t?500,?t?400分钟，溶液浓度为100V8.某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不
6VV含污染物A的污水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底中湖中A的含
63量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中
令m?m0，t?6ln3，即至多需要经过t?6ln3年，湖泊中污染物A的含量才可以降至m0以内。
9.已知某车间的容积为30?30?6 m，其中的空气含0.12%的二氧化碳，现以含二氧化碳0.04%的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车
间空气中二氧化碳的含量不超过0.06%，（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。 解：设每分钟应输入am，t时刻浓度为x，在时间间隔?t,t?dt?，浓度改变dx
33?a?0.04%?ax?dt?30?30?6?dx??4?10?4a?ax?dt?5400dx
dx4?10?4a?axdxaa?4????dt?lnx?4?10??dt?C ?4?dt5400540054004?10?x??x?4?10?4?Ce?4?adt5400，因为t?0,x?12?10?at5400?4?C?8?10?4
?4m含A污水的浓度不超过0，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量才
V
10
x?4?10?8?10e?4，当t?30,x?6?10?a?250m3
高等数学第七章微分方程试题及答案
