第七章 常微分方程
一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：
3．伯努利方程
dy?P?x?Q?y?dx?Q?y??0? 通解?dy??P?x?dx?C Q?y?dy?P?x?y?Q?x?y????0,1? dxdz??1???P?x?z??1???Q?x? 再按照一阶线性 令z?y1??把原方程化为dx
非齐次方程求解。
4．方程：
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：M1?x?N1?y?dx?M2?x?N2?y?dy?0
dy1dx可化为??P?y?x?Q?y? 以y为自变量，xdxQ?y??P?y?xdy为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程 方程类型 解法及解的表达式 通解y?n?1n?2?????fxdx?Cx?Cx???Cn?1x?Cn 12?????nn次M?x?N?y? 通解?1dx??2dy?C ?M2?x??0,N1?y??0?
M2?x?N1?y? 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程
y?n??f?x? dy?y??f?? dx?x?令y??p，则y???p?，原方程? y???f?x,y?? 令
ydydu?u?x?f?u? ?u， 则dxdxx?dudx???c?ln|x|?c
f?u??uxp??f?x,p?——一阶方程，设其解为p?g?x,C1?， 即y??g?x,C1?，则原方程的通解为y?令y??p，把p看作y的函数，则y??? ?g?x,C?dx?C12。 二．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
dy?P?x?dx?P?x?y?0它也是变量可分离方程，通解y?Ce?，（c为任意常数） dxdpdpdydp???p dxdydxdy 2．一阶线性非齐次方程
dy?P?x?y?Q?x? 用常数变易法可求出通解公式 dx 令y?C?x?e??P?x?dxy???f?y,y?? 把y?，y??的表达式代入原方程，得设其解为p?g?y,C1?,即dp1?f?y,p?—一阶方程， dyp 代入方程求出C?x?则得
?P?x?dxdyg?y,C1?，则原方程的通解为 dxy?e
??P?x?dx??Q?x?edx?C
1
?dy?g?y,C1??x?C2。
四．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的
线性微分方程。 二阶齐次线性方程 y???p?x?y??q?x?y?0 （1） 二阶非齐次线性方程 y???p?x?y??q?x?y?f?x? （2） 1．若y1?x?，y2?x?为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程
y???py??qy?0 其中p，q为常数， 特征方程?2?p??q?0
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）特征方程有两个不同的实根?1，?2则方程的通解为y?C1e?1x?C2e?2x
（2）特征方程有二重根?1??2 则方程的通解为y??C1?C2x?e（3）特征方程有共轭复根??1xC1y1?x??C2y2?x?（C1，C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当
，也即y1?x?与y2?x?线性无关时，则方程的通解y1?x???y2?x?（?为常数）为y?C1y1?x??C2y2?x?
2．若y1?x?，y2?x?为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1?x??y2?x?为
对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若y?x?为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y?x?为对应的二阶齐次线性
方程的任意特解，则y?x??y?x?为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1?x??C2y2?x?为对应的二
阶齐次线性方程的通解（C1，C2为独立的任意常数）则
?i?， 则方程的通解为y?e?x?C1cos? x?C2sin? x?
2．n阶常系数齐次线性方程
y?n??p1y?n?1??p2y?n?2????pn?1y??pny?0其中pi?i?1,2,?,n?为常数。 相应的特征方程? n?p1? n?1?p2? n?2???pn?1??pn?0 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有n个不同的实根? 1,?2,?,?n则方程通解
y?C1e?1x?C2e?2x???Cne?nx
（2）若?0为特征方程的k重实根?k?n?则方程通解中含有
y=C1?C2x???Ckxk?1e???0x
y?y?x??C1y1?x??C2y2?x?是此二阶非齐次线性方程的通解。
5．设y1?x?与y2?x?分别是y???p?x?y??q?x?y?f1?x?与 y???p?x?y??q?x?y?f2?x?的特解，则y1?x??y2?x?是 y???p?x?y??q?x?y?f1?x??f2?x?的特解。
（3）若??i?为特征方程的k重共轭复根?2k?n?，则方程通解中含有
e?xC1?C2x???Ckxk?1cos? x?D1?D2x???Dkxk?1sin? x
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
?????? 2
六、二阶常系数非齐次线性方程
方程：y???py??qy?f?x? 其中p,q为常数 通解：y?y?C1y1?x??C2y2?x?
其中C1y1?x??C2y2?x?为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨yduu2?令?u,则u?x udx?x(1?u)du?0
xdxu?11?udxC1?uu，，ln|xu|?u?Cxu?e?ce,?y?cex du??C1?u?x1y论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？ 1．f?x??Pn?x?e?x其中Pn?x?为n次多项式，?为实常数， （1）若?不是特征根，则令y?Rxn?x?e? （2）若?是特征方程单根，则令y?xRn?x?e?x （3）若?是特征方程的重根，则令y?x2Rn?x?e?x 2．f?x??Pn?x?e?xsin? x 或 f?x??P?xn?x?ecos? x 其中Pn?x?为n次多项式，?,?皆为实常数
（1）若??i?不是特征根，则令y?e?x?Rn?x?cos? x?Tn?x?sin? x?（2）若??i?是特征根，则令y?xe?x?Rn?x?cos? x?Tn?x?sin? x?
例题：
一、齐次方程
1.求y2?x2dydydx?xydx的通解 ?y?2解：y2?(x2?xy)dydyy2??x??dx?0dx?xy?x2?? ?y??x???1 2. ?x??1?ey?x?dx?ey??x??????1?y???dy?0 xey?x?解：dx???y?1???dy?x，令x?u,x?yu.(将y看成自变量)
1?eyydxdudueu(udy?u?ydy, 所以 u?ydy??1)1?eu ydudy?ueu?euu?eu1?eu?u??1?eu 1?eudyd(u?eu)dyu?eudu??y, u?eu??y, ln???u?eu??c?????lny?ln1y 1u?eu?xy?c, y?ccu?eu??xx, ?x?yey???c. ???y?ey二、一阶线形微分方程
1.ydx?(y?x)dy?0,y(0)?1.
?解：可得?dx?dy?xy??1. 这是以y为自变量的一阶线性方程解得 x?y(c?lny). ??x(1)?0x(1)?0, c?0. 所以得解 x??ylny.
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高等数学第七章微分方程试题及答案
