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北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
第一课时
一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．
二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导． 三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程： （一）、复习引入：
1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近
彗星太阳条消地球，
过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长 （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：
3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？
答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） （二）、探究新课：
1 椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫
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作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（?线段） 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（?圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴设P(x,y)为椭圆上的任意
一点，椭圆的焦距是2c（c?0）.则F1(?c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于
2a(2a?2c)（常数）?P??PPF1?PF2?2a?
y又?PF1?(x?c)2?y2，
PF1OF2?(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a，
化简，得 (a?c)x?ay?a(a?c)，
22222222x22222由定义2a?2c,?a?c?0令?a?c?b代入，得 bx?ay?ab，
222222x2y2两边同除ab得 2?2?1，此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x轴
ab22上，焦点是F1(?c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中a?c?b 222注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则
yPF2OF1x2y2变成F1(0,?c),F2(0,c),只要将方程2?2?1中的x,y调换，即
aby2x2可得2?2?1，也是椭圆的标准方程
abx理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；
x2y2y2x2在2?2?1与2?2?1这两个标准方程中，都有a?b?0的要求，如方程abab文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
x2y2??1(m?0,n?0,m?n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，mnx2y2xy可与直线截距式??1类比，如2?2?1中，由于a?b，所以在x轴上的“截距”
abab更大，因而焦点在x轴上(即看x,y分母的大小) 22（三）、探析例题：
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（?35,） 22x2y2解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2?2?1 (a?b?0)
ab?2a?10,2c?8?a?5,c?4?b2?a2?c2?52?42?9x2y2??1 所以所求椭圆标准方程为
259y2x2因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为2?2?1 (a?b?0)
ab由
椭
圆
的
定
义
知
，
352a?(?)2?(?2)222＋
3531(?)2?(?2)2?10?10?210 2222y2x2?a?10 又c?2?b?a?c?10?4?6所以所求标准方程为??1
106222y2x235?1，后将点（?,）的另法：∵ b?a?c?a?4∴可设所求方程2?2aa?4222222坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程 点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
（四）、课堂练习：
x2y2??1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） 1 椭圆
259A.5 B.6 C.4 D.10
x2y2??1的焦点坐标是（ ） 2.椭圆
25169A.(±5，0) B.(0，±5)
C.(0，±12) D.(±12，0)
x2y2?2?1，焦点在x轴上，则其焦距为（ ） 3.已知椭圆的方程为
8mA.28?m2C.2m2?8 B.222?m D.2m?22
4.a?6,c?1,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 x2?5.方程3y2sin(2???4?1表示椭圆，则?的取值范围是（ ） )Ａ. Ｃ.
3??3? Ｂ.k?????k??(k∈Ｚ）
8888?3??3? Ｄ. 2k?????2k??????(k∈Ｚ）
8888?????参考答案：1.A2.C3.A
y2x2??1 5. Ｂ4.
3635
（五）、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,
2a?2c?0； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定； ③a、b、c的几何意义 （六）、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值
x2y2x2y2x2y2??1；②??1；③??1；④4y2?9x2?36 ①224242答案：①表示园；②是椭圆a?2,b?2,c?2；③不是椭圆（是双曲线）；④
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x2y24y?9x?36可以表示为2?2?1 ，是椭圆，a?3,b?2,c?5 2322x2y2??1的焦距是 ，2 椭圆焦点坐标为 ；若CD为过左焦点F1的弦，169则?F2CD的周长为 答案：2c?27;F1(?7,0),F2(7,0);4a?16 3． 方程4x?ky?1的曲线是焦点在y上的椭圆 ，求k的取值范围 答案：0?k?4 22x2y2??1 4 化简方程：x?(y?3)?x?(y?3)?10 答案：
16252222x2y2??1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是 5 椭圆
10036 答案：4
6 动点P到两定点F1 (-4,0)，F2 (4,0)的距离的和是8，则动点P的轨迹为 _______ 答案：是线段F1F2，即y?0(?4?x?4) 五、教后反思：
第二课时
一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2、椭圆的标准方程 （二）、引入新课
例1、已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程. 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.
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