第八周
周一
1
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin 2A－asin Acos C＝csin 2A.
2(1)求角A；
93
(2)若△ABC的面积为，外接圆半径为3，求b＋c的值．
4
11
解 (1)由bsin 2A－asin Acos C＝csin 2A及正弦定理，得sin Bsin 2A－sin2Acos C＝sin 2Asin C，
22即2sin Bsin Acos A＝sin2Acos C＋sin Acos Asin C. 又A，B∈(0，π)，∴sin A≠0且sin B≠0， ∴2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin B， 1
∴2cos A＝1，cos A＝，
2π
∵A∈(0，π)，∴A＝.
3
π
(2)由△ABC的外接圆半径为3，得a＝23sin ＝3.
3193
S△ABC＝bcsin A＝，∴bc＝9，
24
π
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc，
3∴9＝(b＋c)2－3bc，即36＝(b＋c)2，故b＋c＝6.
周二
an?an＋1?
2．(2020·济宁模拟)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn＝，n∈N*.
2(1)求数列{an}的通项公式an；
an＋2
(2)设bn＝log2，若称使数列{bn}的前n项和为整数的正整数n为“优化数”，试求区间
an＋1(0,2 020)内所有“优化数”的和S.
an?an＋1?
解 (1)由数列{an}的前n项和Sn＝知
2
a1?a1＋1?
当n＝1时，S1＝，a1＝S1，所以a1(a1－1)＝0，
2
又a1>0，所以a1＝1，
an?an＋1?an－1?an－1＋1?
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝－，
22整理得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1，
所以数列{an}是首项a1＝1，公差d＝1的等差数列， 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n. an＋2n＋2
(2)由an＝n知，bn＝log2＝log2，
an＋1n＋1数列{bn}的前n项和为b1＋b2＋b3＋…＋bn n＋2345
＝log2＋log2＋log2＋…＋log2
234n＋1
?345n＋2?×××…×＝log2?234?
n＋1??
＝log2(n＋2)－1，
令b1＋b2＋b3＋…＋bn＝k(k∈Z)， 则有log2(n＋2)－1＝k，n＝2k＋1－2， 由n∈(0,2 020)，k∈Z知，k<10且k∈N*， 所以区间(0,2 020)内所有“优化数”的和为 S＝(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(210－2) ＝(22＋23＋24＋…＋210)－18 22?1－29?
＝－18＝211－22＝2 026.
1－2
周三
3.如图，在三棱锥P－ABC中，已知AC＝2，AB＝BC＝PA＝2，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
|AM|533
(2)若点M在棱PA上，＝λ，且二面角P－BC－M的余弦值为，试求λ的值．
|AP|33(1)证明 设AC的中点为O，连接PO， 由题意，得BC2＋AB2＝AC2， 则△ABC为直角三角形， 点O为△ABC的外接圆圆心．
又点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心， 所以PO⊥平面ABC，
又PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)解 由(1)可知PO⊥平面ABC，所以PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC，
以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(－1,0,0)，P(0,0,1)， →→→
设AM＝λAP，λ∈[0,1]，AP＝(1,0,1)，M(λ－1,0，λ)， →→→
BC＝(1，－1,0)，PC＝(1,0，－1)，MC＝(2－λ，0，－λ)， 设平面MBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →?BC＝x1－y1＝0，?m·则?
→?MC＝?2－λ?x1－λz1＝0，?m·2－λ??
令x1＝1，得m＝?1，1，?，
λ??设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →?BC＝x2－y2＝0，?n·
由?令x2＝1，得n＝(1,1,1)，
→?PC＝x2－z2＝0，?n·
2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：第八周
