2019-2020年高考数学大题综合练习（五）
1.如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
（1）已知在时刻t(min)时P距离地面的高度f?t??Asin??t????h，（其中A?0,??0,
???），求2017min时P距离地面的高度；
（2）当离地面50?203m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
??
【解析】
（1）依题意，A?40,h?50,T?3，则??且f?0??10，故???∴f?t??40sin?2?， 3?2，
???2?t???50?t?0?
2??3∴f?2017??40sin????2??2017???50?70
2??3（2）由（1）知f?t??40sin?依题意，f?t??50?23， ∴?40cos????2??2?t???50?50?40cos?2??3?3?t??t?0?， ??2??33??2?? t??203,cos?t???32???2k??∵3k?5?2?7?57?t?2k??,k?N,3k??t?3k?,k?N 636447?5?1??3k????0.5， 4?4?2∴转一圈中有0.5min钟时间可以看到公园全貌.
1
26.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，BB1?4，AB?BC，且
AB?BC?32，点M，N为棱AB，BC上的动点，且AM?BN，D为B1C1的中点.
（1）当点M，N运动时，能否出现AD∥面B1MN情况，请说明理由. （2）若BN?2，求直线AD与平面B1MN所成角的正弦值.
【解析】
（1）当M,N为各棱中点时，AD//面B1MN 证明如下：连接CD CN//B1D且CN?B1D?1BC 2?四边形B1DCN为平行四边形，
?DC//B1N
又DC?面B1MN，B1N?面B1MN
?DC//面B1MN
QM,N为各棱中点 ?AC//MN
又AC?面B1MN，MN?面B1MN，?AC//面B1MN
QDCIAC?C，?面ADC//面B1MN
又QAD?面ADC，?AD//面B1MN （2）如图，设AC中点为O，作OE?OA，
以OA，OE，OB分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
QBN?2，AB?BC?32，?AC?6
2
33QM(2,0,1),N(?1,0,2),A(3,0,0),B1(0,?4,3),D(?,?4,)
22uuuuruuuur?MN?(?3,0,1),B1M?(2,4,?2)
rruuuurruuuur设平面B1MN的法向量为n?(x,y,z)，则有n?MN,n?B1M r??3x?z?0，可得平面B1MN的一个法向量n?(1,1,3) ???2x?4y?2z?0ruuuruuurruuur93n?AD414r?又AD?(?,?4,)，?cos?n,AD??ruuuu 2277|n||AD|ruuur414设直线AD与平面B1MN所成角为?，则sin??|cos?n,AD?|? 77
27.为增强学生体质,学校组织体育社团,某宿舍有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团. （1）求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；
（2）用?,?分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量X为?和?的乘积,求随机变量X的分布列与数学期望E(X).
【解析】
12（1）依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，
33设“这4个人中恰有i个人参加篮球社团”为事件Ai(i?0,1,2,3,4) 则P(Ai)?C4()()4?i，(i?0,1,2,3,4)，
这4个人中恰有1个人参加篮球社团的概率P(A1)?C4()()3?1113i23123332 81（2）由已知得X的所有可能取值为0，3，4
17024414P(X?0)?P(A0)?P(A4)?C4()?C4()?
33814011233132P(X?3)?P(A1)?P(A3)?C4 ()()?C4()?33338124821222P(X?4)?P(A2)?C4()()??
338127?X的分布列为：
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