一、 填空题(本大题共5题,每题2分,共10分。请直接将正确结果填入
各题的空格处)
1. 函数z?1?x2?y2的定义域 ；
zxy?yz?xz?e2. 由方程所确定的隐函数z?z(x,y)在点?1,1?处的全
微分dzx?1y?1= ；
3. 变换二重积分
I??dx?f(x,y)dy的积分次序后I?aabx ；
4. 将函数f?x??cosx展开成x的幂级数为 ；
25. 微分方程y???y??0的通解是 。 二、 选择题(本大题共5题,每题2分,共10分。每小题有四个选项,其中
有且只有一个选项正确,请将正确选项的代号字母填入括号内)
226. 在空间解析几何中方程x?y?4表示( )。
A.圆 B.平面 C.圆柱面 D.球面
2?z227. 设函数z?xy,则2?( )。
?xA. 2y2 B. 4xy C. 4y D. 0
?x,y??1?x?0,?1?y?0?,则8. 设D????dxdy等于( )。
DA.－1 B.1 C.2 D.－2 9. 级数?n?1?1( )。 2nA. 发散 B.收敛,其和为2 C.收敛,其和为1 D.收
1
敛,其和为3 10.
下列方程中,( )是二阶线性齐次微分方程。
2d2yA.2?y??y B.(y??)dx2??y?x?yy? C.
?x?y?
2???y?y(y)?x D.
三、 计算题(本大题共9题,每题7分,共63分。解答须有主要解题步骤,
说明必要的理由) 11. 12. 13.
D?z?zx设z?f(u,v),u?xy,v?,求?x,?y。
y222z?x?y?1在条件x?y?3?0下的极值。 求函数
2xyd?y?x及直线,其中是由抛物线D??y?x?2所围成的闭
区域。 14.
222y计算??dxdy,其中D为:1?x?y?4。(要求画草图。提示:
D在极坐标下计算) 15.
计算由z?1?x?y,x?y?1,
x?0,y?0及z?0所
围成立体的体积 16. 17.
sinn?判断级数?的敛散性； 2nn?1?1n求幂级数?nx的收敛区间与和函数。
n?1?18. 19.
1?x?求解微分方程y?xy。
求微分方程y????2ysinx?满足y????的特解。 xx?2??2
四、 应用题(本大题共1题,共10分。解答须有主要解题步骤,说明必要
的理由)
20. 设生产某产品z个单位时,需投入甲原料x个单位,乙原料y个单位,且它们的关系是:z?20?x2?10x?2y2?5y,又设甲原料、乙原料的单价分别为2与1,而产品的售价为5,试求x、y取何值时,利润最大？
五、 证明题(本大题共1题,共7分。解答须有主要解题步骤,说明必要的
理由)
21. 试证:如果??x?是y??Ay满足初始条件?(x0)??的解,那么??x???eA(x?x)。
0
3
试卷A解答及评分标准
一、 填空题 1. x2?y2?1 2. dx?dy 3. ?bbady?yf(x,y)dx
4. ?1????1?n?2x?2nn?12??2n?! 5.
y?Cx1?C2e
二、 选择题 6. C 7. A 8. B 9. C 10. A 三、 计算题 11. 解:
?u?u?x?2xy,?y?x2,?v1?x?y,
?v?y??xy2
?z?x?2xy?f?u?1?fy?v,?z?y?x2?fx?f?u?y2?v。
12. 解:设F(x,y,?)?x2?y2?1??(x?y?3)
?Fx??2x???0令??F???0,得驻点为 x?33
?y??2y,y??F22 ???x?y?3?0极小值是:
112
4
13. 解:得出曲线的交点y??1,y?2 1分
原式2y?2??dy?xydx=?2?x2?y?2?1??ydy?12??5-1y2?2?y22??1y(y?2)2?y5dy?58
积分区域图形正确,加1分 14. 解:令??x?rcos??y?rsin? ,则
原式???r2sin2?rdrd?
D??2?sin2?d??201r3dr
??2?1?cos2?r4202d??4?154? 115. 解:V????1?x?y?dxdy??11?y0dy?0?1?x?y?dx
D??1?1?y1??x?12x2?yx?1??dy?0???3??y?12y2???dy???311?5?2y?2y2?6y3002??? 0616. 解:sinn?n2?1n2
因为
??1 收敛 , 所以 n?1n2??sinn? 收敛。
n?1n217. 解:幂级数的收敛半径为R?limana?limn?1n???1 n?1n??n所以,幂级数的收敛区间为??1,1?。 设幂级数的和函数为S(x),x???1,1?。
?S(x)??1xn＝x??n?1??x1dx??ln(1?x),x???1,1? n?1n?0???xn?1??dx?01?t18. 解:把方程写为ydy???1?x?1???dx,两边求不定积分,得 12y2?lnx?x?C
5
大学期末复习试题资料整理《高等数学2》经管类期末试卷
