_
（2）分别以、，为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，根据
法向量夹角余弦值即可得出结果. 【详解】（1）证明：由分别为边
、
的中点，可得
， 又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得，故有，
由直三棱柱可知侧面为矩形，可得为
的中点，
又由为的中点，可得． 由，
平面，
，平面，
得平面
，
平面， 又，可得平面平面
， 因为平面， 所以
平面
； （2）分别以、
，
为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，,
,
，，
设平面的一个法向量为，则
取
，有
同理可求出平面的一个法向量，
，，
_
结合图形知二面角
的余弦值为
.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定，可根据面面平行判断线面平行；第二问主要考查用空间向量的方法求二面角，属于常考题型.
20.已知曲线上动点与定点动直线与曲线相交于
两点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
，若过
的
（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程； （2）是否存在与点不同的定点，使得由
【答案】（1）曲线是椭圆，它的标准方程为【解析】 分析】
（1）先设动点坐标为
，根据题意列出等式
，化简整理即可求出结果；
；（2）存在点
满足题意
恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理
【只可能是
【详解】（1）设动点坐标为点到直线则
化简得
所以曲线是椭圆，它的标准方程为
（2）分情况讨论如下：当直线与轴垂直时，易得点必在轴上.；当直线与轴垂直时，易得点的坐标
；再证明直线斜率存在且
时均有
即可.
的距离为．依题意可知
，又因为
,则
（2）①当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知
_
从而点必在轴上. ②当直线与轴垂直时，则由
得
，解得．
时均有得
，三点
故所以存在点
共线. . 满足题意．
即可.
.
，由①可设（舍去），或
．
，
则点的坐标只可能是下面只需证明直线斜率存在且设直线的方程为设所以
，代入
设点关于轴对称的点坐标因为直线同理得直线
的斜率的斜率
【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型.
21.已知函数(1) 若(2) 证明：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
时,函数
.
取得极值,求函数
的单调区间；
.
_
【解析】 【分析】
（1）先对函数求导，根据（2）先令再令最后求
【详解】（1）由题意可得，由所以所以所以（2）当令减区间为所以所以令即所以上式中得到
时，
时，的单调增区间
时，
，则
时，函数
时，函数
取得极值，求出，进而可求其单调区间；
，得到
，即
时，
，
，
，用导数方法证明
，得
取得极值知
；
，单调增区间为
，所以
， ，得
的，即可得出结论成立.
，
，所以
．
，
时，
；
，单调减区间为
，所以
.
，当
时，
；当
， ，
是增函数，所以
时，
，
，
的单调
时，
，
，…，，然后个不等式相加，
【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记通常用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.
_
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极
坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程; (2)设
.直线与曲线交于点
.求；（2）7
的值.
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）先将
化为
，进而可得出其直角坐标方程；
，再设，两点对应的参数分别为
，
（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到进而可得【详解】（1）由∴又∴
， ，
即曲线的直角坐标方程为
，即可求出结果.
得
，
．
（2）将代入的直角坐标方程，得，
∴，
，
设，两点对应的参数分别为∴
．
广西壮族自治区南宁,梧州等八市2024年度高三4月联合调研考试数学(理)试题(解析版)
