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2013高中数学精讲精练 第六章 不等式
【知识图解】
【方法点拨】
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.
1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式
求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不
等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相
关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。
应用
二元一次不等式组 解法 基本不等式 应用 证明 不等式一元二次不等式 应用 几何意义
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第1课 基本不等式
【考点导读】
1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础练习】
1.“a>b>0”是“ab 2条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件) 2.a2?b2?1,b2?c2?2,c2?a2?2,则ab?bc?ca的最小值为1 23.已知x,y?R?，且x?4y?1，则x?y的最大值为1 ?3164.已知lgx?lgy?1，则52的最小值是2 ?xy【范例导析】 例1.已知 5，求函数1的最大值. x?y?4x?2?44x?5分析：由于4x?5?0，所以首先要调整符号. 解：∵ 5∴5?4x?0 x?4≤-2+3=1 1=?1??5?4x???34x?5?5?4x??∴y=4x-2+ 当且仅当 1，即x=1时，上式成立，故当x=1时，ymax?1. 5?4x?5?4x，求x+y的最小值。 b+=1xy例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且a（2） 已知x?0，y?0，且x?2y?xy?30，求xy的最大值． 分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解. 解:(1)法一：直接利用基本不等式： abbxay≥ x+y=(x+y)(+)=a+b++xyyx七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.7caiedu.cn 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载 时等号成立 a+b+2ab当且仅当?aybx，即?x=a+ab??x=y????y=b+ab??a+b=1??xy法二： 由a 得bay +=1x=xyy-b aya(y?b)?ab?x?y??y??yy?by?babab?a??y??(y?b)?a?by?by?b∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由ay>0得y-b>0 ∴ x+y≥2ab+a+b y-b当且仅当 ，即时，等号成立 ?ab?y=b+ab??y-b=y-b????x=a+ab??a+b=1??xy． 30?xy? (0?x?30)2?x（2）法一：由x?2y?xy?30，可得， 30x?x2?(2?x)2?34(2?x)?64 64? ?xy???34??(x?2)?2?x2?xx?2???注意到 ．可得，xy?18． 6464(x?2)??2(x?2)??16x?2x?2当且仅当 64，即x?6时等号成立，代入x?2y?xy?30中得y?3，故xy的 x?2?x?2， 最大值为18． 法二：?x,y?R?， ?x?2y?22xy?22?xyxy?xy?30 代入x?2y?xy?30中得： 22?解此不等式得0?xy?18．下面解法见解法一，下略． 点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.7caiedu.cn 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载 【反馈练习】 1.设a＞1,且＞n 2.已知下列四个结论： ①若a,b?R,则 baba??2??2ababm?loga(a2?1),n?loga(a?1),p?loga(2a),则m,n,p的大小关系为m＞p ； ②若x,y?R?,则 lgx?lgy?2lgxlgy； ③若x?R?,则 44x???2x???4xx； ④若x?R?,则2x?2?x?22x?2?x?2。 其中正确的是④ 3.已知不等式 对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为6 1a(x?y)(?)?9xy ，并且求等号成立的条件． 4.（1）已知：x?y?0，且：xy?1，求证：2x?y2x?y（2）设实数x，y满足y+x2=0，0 ?22≤ 。 loga?ax+ay?log2?1a8解： （1）分析：由已知条件x，y?R?，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有 x?y，无法利用x?y?2xy，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现 1型，再行论证． (x?y)?(x?y)证明：?x?y?0,?x?y?0.又?xy?1, 等号成立 2x2?y2(x?y)2?2xy2?(x?y)????2(x?y)??22.x?yx?yx?y(x?y)当且仅当 2时．?(x?y)2?2,x?y?2,x2?y2?4. (x?y)?(x?y)6?26?2 x?,y?22?xy?1,?(x?y)2?6,?x?y?6.由以上得 即当 6?26?2时等号成立． x?,y?22说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式， 这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式． 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.7caiedu.cn 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载 111x?x（2）∵ ax?ay≥?(x?)2?， x?y2a?2a2?2a22821121≤1，0 ?(x?)?2288∴ ∴ 111?(x?)2?2a228≥ 12a8 ∴ ax?ay≥1 2a81(2a8loga(ax?ay)≤loga1)?loga2?8 第2课 一元二次不等式 【考点导读】 1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式： （1）?3x2?4x?4?0 （2）1 3x?x??0222（3） ?x?1??x?3??2x2?x?2 （4）?4??1x2?x?3??2 22 2??x?23解：（1）原不等式化为3x2?4x?4?0，解集为 （2）原不等式化为x2?2x?3?0，解集为R （3）原不等式化为x2?x?1?0，解集为? （4）由 3?12x?x??42??123?2?x?2x?1?022?x?x??4,得?,得?21322??x?2x?5?0?x2?x??2??22 得 ??x?2?1或x??2?1,????6?1?x?6?1七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
2013高考数学精讲精练(新人教a版)第06章不等式(精)
