莁概率论第四章习题解答
蒆1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X的分布律并求数学期
望E(X)。
莆“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”
（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出
膂Y的分布律并求E(Y)
蒇（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X的分布律。
膈解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X的取值为：2,3,4，9，其分布律为
节所以
膄2 3 4 9 151115E(X)?2??3??4??9??。
88884
袈（2）因为Y的取值为2,3，4，9
当Y?2时，包含的字母为“O”，“N”，故
蚆
1C21?； 羃 P{Y?2}?3015
莂 当Y?3时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当Y?4时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当Y?9时，包含的9个字母的单词只有1个，故
蚂
艿
莈
蒂
2 3 4 9 E(Y)?2?
蚀112314673?3??4??9???。 15215103015 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X＝7,8，9,10，11,12；
袆 若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。 X 袇
螅 薁1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
薈2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品
多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）
薄解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率
蚁 因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y，则YkP{Y?k}?C10(0.1)k(0.9)10?k
B(10,0.，1于是有
芈（2）一次检验中不需要调整设备的概率
羆 则需要调整设备的概率 P{Y?1}?1?PY{?}?1? 10.7?36
芃（3）求一天中调整设备的次数X的分布律
蚁由于X取值为0，1，2，3，4。p?0.2369，则X
B(4,0.2369)
虿004于是 P{X?0}?C4(0.2639)(0.7361)?0.2936
螈 0 1 2 3 4 0.2936 0.4211 0.2263 0.054 0.0049 莆
螁（4）求数学期望
肀 ?1.0556。
膅3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求E(X)。
肅解 （1）求X的分布律
袁由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有4?64种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1
3种，从而
蒁 P{X?4?}1； 64
袇又{X?3}
袃“X?3”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个
3盒子中，共有2?8种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合X这一要求，需要除去，故有
羁?3“X3?2”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，
3共有3?27种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有2?8种放法，即2号盒子是空的，这不符合X 薇即
蚂?2这一要求，需要除去，故有
莅1 2 3 4 （2）求E(X)
肁 E(X)??1371971100??2??3??4???64646464643j2}?j，,21（j?3j325。1. 562516
羈4（1）设随机变量X的分布律为P{X?(?1)j?1），说明X的数学期望不存在。
肇（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在。
蚅解 （1）因为级数
膀
?(?1)j?1?j?1jj??3j2(?1)j?1j?13j?13， P{(?1)}??(?1)?j?2?jjj3jj?1j?1
荿这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学期望不存在。
概率论第四章课后习题解答
