专题强化训练(二十) 概率与统计
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1．[2019·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假
3定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概2?2?k?2?k?1?3－k率均为，故X～B?3，?，从而P(X＝k)＝C3????，k＝0,1,2,3.
3?3??3??3?
所以，随机变量X的分布列为
X P 0 1 271 2 92 4 93 8 272随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.
3
?2?(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B?3，?，且M＝{X?3?
＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X824120
＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝×＋×＝. 279927243
2．[2019·合肥质检二]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案，
方案一：交纳延保金7 000元，在延保的2年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；
方案二：交纳延保金10 000元，在延保的2年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．
某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：
维修次数 台数 0 5 1 10 2 20 3 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机
1
器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金及维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X＝0)＝×＝111051155
1110101， 100125
P(X＝1)＝××2＝， P(X＝2)＝×＋××2＝， P(X＝3)＝××2＋××2＝， P(X＝4)＝×＋××2＝， P(X＝5)＝××2＝， P(X＝6)＝×＝∴X的分布列为
331010
9， 100
23510
625
2255
31105
725
131010
1525
1150
21510
325
X P 0 1 1001 1 252 3 253 11 504 7 255 6 256 9 100(2)选择延保方案一，所需费用Y1的分布列为 Y1 P EY1＝
7 000 17 1009 000 11 5011 000 7 2513 000 6 2515 000 9 1001711769×7 000＋×9 000＋×11 000＋×13 000＋×15 000＝10 720(元)． 100502525100
选择延保方案二，所需费用Y2的分布列为
Y2 P EY2＝
10 000 67 10011 000 6 2512 000 9 1006769×10 000＋×11 000＋×12 000＝10 420(元)． 10025100
∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．
3．[2019·石家庄一模]东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该
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食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：
销售量(份) 天数 (视样本频率为概率) (1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望．
(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
解：(1)根据题意可得ξ的可能取值为30,31,32,33,34,35,36，
15 20 16 30 17 40 18 10 P(ξ＝30)＝×＝， P(ξ＝31)＝××2＝， P(ξ＝32)＝××2＋×＝， P(ξ＝33)＝××2＋××2＝， P(ξ＝34)＝××2＋×＝， P(ξ＝35)＝××2＝， P(ξ＝36)＝×＝ξ的分布列如下：
ξ P 125
30 1 25325
31 3 251432 1 433 7 25725
34 11 501150
35 2 25225
36 1 1001＝32.8. 100
110
11
. 1010025
110
225
310
110
22115550
15
110
32105
725
15
25
331010
14
15
310
325
1511525
E(ξ)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×(2)当购进32份时，利润为
2131
32×4×＋(31×4－8)×＋(30×4－16)×＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元)．
252525当购进33份时，利润为 33×4×
59131
＋(32×4－8)×＋(31×4－16)×＋(30×4－24)×＝77.88＋30＋10042525
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(新高考)2020版高考数学二轮复习专题强化训练(二十)概率与统计理
