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注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：
柱体的体积公式：v?sh，其中s表示柱体的底面积，h表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s?cl，其中c是圆柱的底面周长，l是圆柱的母线长. 球的体积公式V=?R, 其中R是球的半径. 球的表面积公式：S=4π
433R,其中R是球的半径.
?xy?nx?yiii?1nn2??用最小二乘法求线性回归方程系数公式b?xi2?nxi?12? . ??y?bx,a如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B).
第1卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2+y2=l}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}，
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则A ∩ B的元素个数为（ ） A．0 B． 1 C．2 D．3
3．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) π2π
A.3 B.3 C.3 D．2
3R3． C解析设圆半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，于是圆心角的弧度数为R＝3.故选C.
4．（文） 定义在R上的偶函数f?x?的部分图象如右图所示，则在??2,0?上，下列函数中与f?x?的单调性不同的是（ ） A．y?x?1 B． y?|x|?1
x??2x?1,x?0?e,x?oC． y??3 D．y???x
??x?1,x?0?e,x?024．（文）答案：C
解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在??2,0?上单调递减，
2y?x?1注意到要与f?x?的单调性不同，故所求的函数在??2,0?上应单调递增．而函数
?2x?1,x?0在???,1?上递减；函数y?x?1在???,0?时单调递减；函数y??3在（??,0]x?1,x?0?上单调递减，理由如下y＇=3x2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数
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x??x?e,x?0，有y＇=-e<0(x<0)，故其在（??,0]上单调递减，不符合题意，综上选C． y???x??e,x?04．（理） 函数F(x)＝??t(t－4)dt在[－1,5]上 ( )
0
x
A．有最大值0，无最小值
32
B．有最大值0和最小值－3
32
C．有最小值－3，无最大值 D．既无最大值也无最小值
答案：B 5．若函数(A) (B) (C) (D) 5．答案：D
解析：易知当b=0时，函数f(x)?x?bx是偶函数.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC等于( )． 3
A.2 B.2 C.3 D．2 6．解析 ∵角A，B，C依次成等差数列， πabasin B1∴B＝3.由sin A＝sin B，可得sin A＝b＝2. πππ13
∵b>a，∴A<3，即可得A＝6，∴C＝2，即得S△ABC＝2ab＝2，故应选B. 答案 B
7．设a、b是正实数， 以下不等式
2ab2
222
①ab>a＋b；②a>|a－b|－b；③a＋b>4ab－3b；④ab＋ab>2恒成立的 序号为 ( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
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2，则下列结论正确的是
?
1
在(0，在(0，为奇函数 为偶函数
）上是增函数 ）上是减函数
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解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
?x?y≤300，?由题意得?500x?200y≤90000，
?x≥0，y≥0.?目标函数为z?3000x?2000y．
?x?y≤300，?二元一次不等式组等价于?5x?2y≤900，
?x≥0，y≥0.?作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线l:3000x?2000y?0，即3x?2y?0． 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． 联立??x?y?300，解得x?100，y?200．?点M的坐标
?5x?2y?900.200)． 为(100，?zmax?3000x?2000y?700000（元）．
9．直线y=kx+3与圆（x-3）2+(y-2)2=4相交于M,N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是 ( )
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9．解析：圆（x-3）2+(y-2)2=4的圆心（3，2）到直线y=
答案：A
?(3a?1)x?4a,x?110．已知f(x)??是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是
logxx?1?a（ ）
A．（0，1） B．（0，
1111） C．[,) D．[,1) 373710.C 解析：分段函数为减函数的充要条件是每一段必须是减函数，且左边一段的最小值大
?3a?1?011???a?,所以选C 于等于相邻右边一段的最大值，所以?0?a?13?3a?1?4a?log17a?
11．将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体BDA1C1，这个正四面体的体积是正方体体积的( )． 1121A.2 B.3 C.3 D.4
11
11．解析 设正方体的棱长为1，依题意知截去的角为一个三棱锥，其体积为：V1＝3×21
×1×1×1＝6.
11
则正四面体BDA1C1的体积V＝1－4×6＝3. 1
VBDA1C131∴V正方体＝1＝3. 答案 B
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x2y212．已知双曲线2?2?1与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
abA.(1,5) B.(1,5)∪(5,+∞) C.(
5,+∞) D.［5,+∞)
第II卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．某人5次上班途中所花的时间(单位：min)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为____.
x＋y＋10＋11＋91
13．解析：10＝由平均数：，则x＋y＝20，由方差：2＝5[(x－10)2＋(y－10)25
＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]，则(x－10)2＋(y－10)2＝8，由以上两式，得x2＋y2＝208.再由x＋y＝20，则xy＝96，则|x－y|2＝x2－2xy＋y2＝16，则|x－y|＝4. 答案：4
14.下图是计算1+3+5+…+99的值的算法程序框图,那么在空白的判断框中,应该填入____.
14.解析：若s=1+3+5+…+99时，i=99，再执行i=i+2，有i=101，此时跳出循环，故 i≤99？15.斜率为3的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B的两点，则|AB|＝________.
15.解析 如图，过A作AA1⊥l′，l′为抛物线的准线．
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过B作BB1⊥l′，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
过焦点F作FM⊥A1A交A1A于M点，直线l的倾斜角为60°， cos 60°所以|AF|＝|AA1|＝|A1M|＋|AM|＝2＋|AF|·，所以|AF|＝4， 416同理得|BF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝3. 16答案 3
16.对于满足|p|?2的所有实数p，则使不等式x?px?1?2x?p恒成立的x的取值范围为____．
16.解析：把x?px?1?2x?p转化为(x?1)p?x?2x?1?0，则成为关于p的一次不等式，则|p|?2，得?2?p?2，由一次不等式的性质有：
2222(x?1)p?(x?1)2?(x?1)(x?1?p)?0，
当p??2时，(x?1)(x?3)?0，∴x??1或x?3；
当p?2时，(x?1)(x?1)?0，∴x??1或x?1，综上可得：x??1或x?3． 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分）
π??
已知函数f(x)＝sin?2ωx－6?－4sin2ωx＋a(ω>0)，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间；
3?π?
0(2)设函数f(x)在?，2?上的最小值为－2，求函数f(x)(x∈R)的值域．
5ππ??
∴f(x)的单调递增区间为?kπ－12，kπ＋12?(k∈Z)．
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πππ4π
(2)当0≤x≤2时，3≤2x＋3≤3， π?3?
∴－2≤sin?2x＋3?≤1. 7
这时f(x)的最小值为a－2.
π?73?
由已知得，a－2＝－2，∴a＝2，f(x)＝3sin?2x＋3?， ∴f(x)的值域为[－3，3]．
18．（文）（本小题满分12分）
某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，两道自然科学类题，三道社科类题中任选两道回答，且该生答对每一道数学、自然科学、社科类试题的概率依次为0.6、0.7、0.8.
(1)求该考生恰好抽到两道社科类试题的概率；
(2)求该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率．
18．（理）（本小题满分12分）
为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：
老年 中年 200元 0.4 0.3 300元 0.3 0.4 400元 0.2 0.2 500元 0.1 0.1 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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青年
0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点， (1)求这三人恰有两人消费额大于300元的概率； (2)求这三人消费总额大于或等于1300元的概率；
(3)设这三人中消费额大于300元的人数为X，求X的分布列． 18（理）． 解：(1)P1＝(0.3)2×0.6＋2×0.3×0.7×0.4＝0.222；
(2)消费总额为1500元的概率是：0.1×0.1×0.2＝0.002消费总额为1400元的概率是：(0.1)×0.2＋2×(0.2)×0.1＝0.010，
消费总额为1300元的概率是：(0.1)×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.2＋2×0.2×0.1＝0.033.
所以消费总额大于或等于1300元的概率是P2＝0.045； (3)P(X＝0)＝0.7×0.7×0.6＝0.294，
2
2
3
2
2
P(X＝1)＝0.3×0.7×0.6×2＋0.7×0.7×0.4＝0.448， P(X＝2)＝0.3×0.3×0.6＋0.3×0.7×0.4×2＝0.222， P(X＝3)＝0.3×0.3×0.4＝0.036.
所以X的分布列为：
X P
19．（文）（本小题满分12分）
0 0.294 1 0.448 2 0.222 3 0.036 如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如图(2))．
(1)求证：AP∥平面EFG；
(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明． 19．（文）(1)证明 ∵E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF∥CD∥AB.
又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
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∴EF∥平面PAB.
同理：EG∥平面PAB.又EF∩EG＝E. ∴平面EFG∥平面PAB.∵AP?平面PAB， ∴AP∥平面EFG.
(2)解 取PB的中点Q，连结AQ，QD， 则PC⊥平面ADQ. 连接DE，EQ，
∵E，Q分别是PC，PB的中点， ∴EQ∥BC∥AD.
∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC， ∴PD⊥平面ABCD.
∴PD⊥AD，又AD⊥DC，PD∩DC＝D
∴AD⊥平面PDC.又PC?平面PDC，∴AD⊥PC. 在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点． ∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ. 19．（理）（本小题满分12分）
在等腰梯形ABCD中，AB＝3，AD＝BC＝2，CD＝1，E为AB上的点且AE＝1，将△AED. 沿DE折起到A1ED的位置，使得二面角A1CDE的平面角为30°(1)求证：DE⊥A1B；
(2)求二面角BA1CD的余弦值．
19．（理）(1)证明 如图1中，∵在等腰梯形ABCD中，AB＝3，CD＝1，AE＝1，∴DE⊥AB，∴如图2中，DE⊥A1E，DE⊥BE，∴DE⊥平面A1EB，故DE⊥A1B.
(2)解 如图建立空间直角坐标系，设EA1与x轴所成的角为θ， 则A1(cos θ，－sin θ，0)，B(0,2,0)，C(0，1，3)，D(0,0，3)， →→
∴A1C＝(－cos θ，1＋sin θ，3)，CD＝(0,1,0)， 设平面A1CD的法向量为n1＝(x，y，z)， 平面BCDE的法向量为n2＝(1,0,0)，
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→??AC·n＝－xcos θ＋y?1＋sin θ?＋则?→??CD·n＝y＝0，
1
11
3z＝0，
?3?
令z＝1，则n1＝?cos θ，0，1?，
3
∵cos〈n1，n2〉＝2，∴
?3??cos θ?
3
3＝2，解得cos 2θ＝1，即θ＝0，此时点A1在x轴上，1＋cos2θ
→
A1(1,0,0)，A1B＝(－1,2,0)，n1＝(3，0,1)， 设平面A1BC的法向量为n3＝(x，y，z)， →??AB·n＝－x＋2y＝0，则?→??AC·n＝－x＋y＋3z＝0，
1
31
3
3??
令y＝1，得n3＝?2，1，3?. n1·n37
故cos〈n1，n3〉＝|n1|·|n3|＝8.
7结合图形，可得二面角BA1CD为钝角，故二面角的余弦值为－8. 20. （本小题满分12分）
数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＋2n－1＝0(n∈N*且n≥2). (1)求a2、a3的值；
(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn.
当n＝1时，a1＝4－1＝3，
∴{an}的通项公式是an＝4×(－1)n－1－n(n∈N*). (3)∵an＝4×(－1)n－1－n(n∈N*)，
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Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝[4(－1)－1]＋[4(－1)－2]＋[4(－1)－3]＋…＋ [4(－1)
n－1
0
1
2
－n]
1
2
＝4[(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2[1－(－1)]－
n0n－1
]－(1＋2＋3＋…＋n)
n(n＋1)
2
.
20．（理）（本小题满分12分）
如图所示，在直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），C1为AB的中点，O为坐标原点，过C1作C1D1⊥OA于D1点，连结BD1交OC1于C2点，过C2作C2D2⊥OA于D2点，连结BD2交OC1于C3点，过C3作C3D3⊥OA于D3点，如此继续，依次得到D1，D2，D3，…，Dn（n∈N*）,记Dn的坐标为（an,0）.
（1）求a1,a2的值；
（2）求an与an+1的关系式，并求出an的表达式；
（3）设△OCnDn的面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn,证明：Sn<20（理）
3. 4七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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所以数列??1??是首项为2,公差为1的等差数列， ?an?所以
11=n+1,所以an=. ann?1
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21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?13ax?bx2?x?3，其中a?0． 3（1）当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值?
（2）已知a?0，且f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．
221．解析：（1）由已知得f'(x)?ax?2bx?1，令f'(x)?0，得ax?2bx?1?0X§
2f(x)要取得极值，方程ax2?2bx?1?0必须有解，
所以△?4b?4a?0，即b?a， 此时方程ax?2bx?1?0的根为：
222?2b?4b2?4a?b?b2?a?2b?4b2?4a?b?b2?ax1???，x2?，
2aa2aa所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2) 当a?0时，
x f’(x) f (x) (-∞，x1) ＋ 增函数 x 1 0 极大值 (x1，x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2，+∞) ＋ 增函数 所以f(x)在x 1， x2处分别取得极大值和极小值 当a?0时，
x F’(x) f (x) (-∞，x2) － 减函数 x 2 0 极小值 (x2，x1) ＋ 增函数 所以f(x)在x 1， x2处分别取得极大值和极小值． 综上，当a,b满足b?a时，f(x)取得极值．
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2x1 0 极大值 (x1，+∞) － 减函数 七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供Word版教学资源
当a?1时，0?11ax1)时g'(x)?0，g(x)???单调增函数； ?1，当x?(0,a22xa当x?(1ax1,1]时g'(x)?0，g(x)???单调减函数，
22xa11)??a． 时，g(x)取得最大，最大值为g(aa所以当x?所以b??a． 当0?a?1时，1?1，此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立， aax1?在区间(0,1]上单调递增， 22xa?1a?1当x?1时g(x)最大，最大值为g(1)??，所以b??．
22a?1综上，当a?1时， b??a；当0?a?1时， b??．
2所以g(x)??22．（本小题满分14分）
x1y1?x2y2?y2x2??
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上的两点，已知向量m＝?b，a?，n＝?b，a?，
3
n＝0且椭圆的离心率e＝2，短轴长为2，O为坐标原点． 若m·
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；
(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
a2－b2c3
22．解：(1)2b＝2，b＝1，e＝a＝a＝2 ?a＝2，c＝3，
y2
椭圆的方程为4＋x2＝1.
(2)由题意，设AB的方程为y＝kx＋3，
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??y＝kx＋3，?y2(k2＋4)x2＋23kx－1＝0. ???4＋x2＝1
－23k－1x1＋x2＝k2＋4，x1x2＝k2＋4.
n＝0得： 由已知m·
x1x2y1y21
2＋2＝x1x2＋(kx1＋3)(kx2＋3) ba4
2
3k3?k?
＝?1＋4?x1x2＋4(x1＋x2)＋4
1?k2＋4?3k－23k32＝4?－k＋4?＋4·k2＋4＋4＝0，
解得k＝±2.
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2012年高考数学最新密破仿真模拟卷11(教师解析版)-第11周测试(精)
